¿Por qué es cofiniteness incluidos en la definición de la suma directa de los submódulos?

Question

En contraste con la posibilidad de tomar una secuencia arbitraria de elementos de submódulos en la definición de producto directo, la definición de la suma directa de los submódulos de un módulo requiere el indexado de los elementos a desaparecer cofinitely(es decir, excepto un número finito de veces).

Más precisamente, Vamos a $R$ ser un anillo, y $\{M_i : i ∈ I\}$ una familia de izquierda $R-$módulos indexados por el conjunto de $I$. La suma directa de ${M_i}$ es entonces definida como el conjunto de todas las secuencias de $(α_i)$ donde $\alpha_i \in M_i$ $α_i = 0$ para cofinitely muchos índices $i$. (El producto directo es análogo pero los índices no necesita cofinitely desaparecer.)(Fuente Wikipedia: suma Directa de los módulos.)Hemos definición similar a la suma de los submódulos.

Todavía no he entendido lo de la patología se incurriría sin asumir o lo simplificación (si los hubiere) que se obtendría en el supuesto de cofiniteness. ¿Puede por favor explicar esto en términos simples (posiblemente, con ejemplos) ?

Gracias.

Answer 1

Para ver un ejemplo de alguna patología, mientras que la suma directa de libre módulos es siempre libre (con la obvia libre), el producto directo de libre módulos puede no ser libre.

Tome $R=\mathbb{Z}$; a continuación, $M = \mathop{\oplus}\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{Z}$ es gratis abelian, con base dada por el "evidente" elementos $e_i$ ($1$$i$th coordinar y ceros en otros lugares). Sin embargo, $N = \prod\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{Z}$ es no libre abelian. Por ejemplo, Specker demostrado (Aditivo Gruppen von Folgen ganzer Zahlen, Portugaliae de Matemáticas. 9 (1950) 131-140) que $N$ tiene sólo countably muchos homomorphisms en $\mathbb{Z}$. Pero desde $N$ es incontable, si fuera gratuito sería libre en una cantidad no numerable de los generadores, y por lo tanto habría una cantidad no numerable de homomorphisms en $\mathbb{Z}$ (al menos las proyecciones). De hecho, si $X$ es cualquier conjunto infinito, a continuación, $\mathop{\oplus}_{x\in X}\mathbb{Z}$ es gratis abelian de rango $|X|$, pero $\prod_{x\in X}\mathbb{Z}$ nunca es abelian.

Usted tiene una patología relacionada con los espacios vectoriales (por supuesto, todo espacio vectorial es gratis, así que no se cuál es el problema, sino, más bien, cuando usted piensa acerca de "¿qué?"). Cuando se trabaja con un número finito de espacios vectoriales, usted tiene que $\dim(V_1\times V_2) = \dim(V_1\oplus V_2) = \dim(V_1)+\dim(V_2)$ (en el sentido de la suma de cardinalidades). Sin embargo, una vez que usted tiene un número infinito de espacios vectoriales, la igualdad se rompe por el producto, mientras que para la suma directa de: $$\dim\left(\bigoplus_{i=1}^{\infty} V_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty}\dim(V_i)$$ pero para los productos que no necesita tener: para un contraejemplo, tome $V_i = \mathbb{Q}$ como un espacio vectorial sobre sí misma; la suma de las dimensiones es $\aleph_0$, pero el producto directo de denumerably muchas copias de $\mathbb{Q}$ es incontable, por lo que la dimensión es $2^{\aleph_0}$ (de modo que usted tiene un "salto" en la dimensión una vez que llegue a un número infinito de elementos).

Answer 2

El punto es que la suma directa y el producto directo de ambos existen y se producen ampliamente en la naturaleza. A veces quiere uno, a veces el otro.

Aquí es un simple, básico y más importante ejemplo donde se desea absolutamente el "cofiniteness condición" (es decir, la suma directa). Deje $V$ ser un infinito-dimensional espacio vectorial sobre un campo $K$. A continuación, una base $B$ $V$ induce un isomorfismo de $V$ con el infinito directa de la suma de la $\bigoplus_{b \in B} K$. Las combinaciones lineales de los infinitos conjuntos de vectores todavía debe tener sólo un número finito distinto de cero de los coeficientes. (Al menos en pura álgebra. Si usted tiene una topología, entonces uno puede hacer sentido de las infinitas combinaciones lineales...)

Aquí hay un ejemplo simple donde usted desea que el producto directo (tomado de ayer la lección de mi curso de álgebra conmutativa). Si usted tiene una infinita indexado familia $\{R_i\}_{i \in I}$ de anillos, entonces el producto directo de los $R = \prod_{i \in I} R_i$ es un anillo. La infinita suma directa es no un anillo de acuerdo a la moderna definición de si infinitamente muchos de los factores son cero anillos, porque la identidad multiplicativa $1 = (1,1,1,\ldots)$ no está presente.

Answer 3

Voy a intentar motivar a la diferencia a través de la definición de la suma directa y el producto en términos de sus propiedades universales.

La suma directa de una familia de $R$-módulos de $\{ M_\alpha : \alpha \in A \}$ se define como un módulo de $M$ junto con una familia de homomorphisms $\iota_\alpha : M_\alpha \to M$ tal que para cada familia de homomorphisms $\phi_\alpha : M_\alpha \to N$, hay un único homomorphism $\phi : M \to N$ tal que $\phi \circ \iota_\alpha = \phi_\alpha$.

Por otro lado, el producto directo se define esencialmente de la misma manera, excepto con todas las flechas invertidas: entonces, tenemos un módulo de $P$ junto con una familia de homomorphisms $\pi_\alpha : P \to M_\alpha$ tal que para cada familia de homomorphisms $\psi_\alpha: N \to M_\alpha$ tenemos un único homomorphism $\psi: N \to M$ tal que $\pi_\alpha \circ \psi = \psi_\alpha$. Con esta definición, podemos sonda $P$ por medio de homomorphisms $R \to P$ donde $R$ es considerado como el libre $R$-módulo en un generador. Porque cada homomorphism en $P$ está determinado por sus proyecciones, y cada homomorphism de $R$ está determinado por la imagen de $1$, resulta $P$ debe contener todo lo que en el conjunto de la teoría de producto Cartesiano $\displaystyle \prod_{\alpha \in A} M_\alpha$, y nada más.

Por desgracia, no es tan fácil para sondear la suma directa de $M$. Todo lo que sabemos es que contiene isomorfo copias de cada una de las $M_\alpha$, y la definición de módulo sólo nos da finito de sumas de elementos, tan sólo sabemos que $M$ contiene combinaciones lineales finitas de elementos de cada una de las $M_\alpha$. Resulta que esto es suficiente para definir un módulo, y es exactamente la suma directa como se define generalmente.

Answer 4

Me gusta pensar en esto como la diferencia entre polinomios (suma directa) y la potencia de la serie (producto directo). A veces uno de los objetos es más útil que o se muestra en el contexto en lugar de los otros. Por ejemplo, el cohomology anillo de un espacio es la suma directa de

$$ H^*(X)=\bigoplus_{n\geq 0}H^n(X). $$

Así que el cohomology anillo de $\mathbb{C}P^\infty$$\mathbb{Z}[x]$, un polinomio de anillo en una variable. Elegimos la suma directa debido a algunos problemas de topología con la copa del producto.

Otras veces nos desea el producto directo.