Mostrar que $\dfrac{2^p}{p}$ resto de $2$ para cualquier prime $p \geq 3$

Question

Un bono de la pregunta en mi último examen de matemáticas no he sido capaz de resolver. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Fermat Poco Teorema.

Si usted no puede o no desea emplean directamente a eso, se puede considerar el binomio de expansión de $2^p = (1+1)^p$.

Answer 2

Fermat poco teorema es probablemente la mejor manera de ir aquí. Intente evitarlo y probablemente vas a perder un poco de tiempo reinventando la rueda.

Si $\gcd(b, p) = 1$ $p$ es primo, entonces $b^{p - 1} \equiv 1 \pmod p$. Esto es de Fermat poco teorema, no necesita ser probado de nuevo, pero sin duda se puede buscar una prueba de que si usted no quiere tomar mi palabra para ella.

Por lo tanto, si $p$ es un extraño primo, entonces obviamente $\gcd(2, p) = 1$. Esto significa que $2^{p - 1} \equiv 1 \pmod p$. Desde $1 \times 2 = 2$, esto significa que $2^p \equiv 2 \pmod p$.