Cubrir una variedad riemanniana con bolas geodésicas sin demasiado solapamiento

Question

Estoy buscando una prueba del siguiente hecho:

Dejemos que $M$ sea una variedad compacta de Riemann. Existe un número natural $h$ , tal que para cualquier número suficientemente pequeño $r>0$ existe una cubierta de $M$ por bolas geodésicas de radio $r$ de manera que cualquier $h$ de las bolas tienen una intersección vacía.

Answer 1

Hay una vecindad alrededor de cada punto donde el mapa exponencial es bilipschitz con constantes arbitrariamente cercanas a 1. Esto implica que las imágenes de bolas de radio $R$ bajo el mapa exponencial son casi bolas de radio $R$ es decir, contienen bolas de radio, digamos, $3R/4$ y se encuentran en bolas de radio $5R/4$ . Cubre tu espacio con un número finito de estos barrios.

Tomemos un entramado cúbico uniforme en $R^n$ de manera que el $r$ -La vecindad de los puntos de la red cubre $R^n$ y enviarlo a cada uno de los barrios elegidos a través del mapa exponencial. Las bolas de radio $4r/3$ sobre las imágenes de los puntos de la red cubren la variedad y se cruzan sólo un número acotado de bolas de puntos que provienen del mismo mapa exponencial. (Nótese que el límite no depende de r). Pero cada punto está sólo en un número finito de imágenes del mapa exponencial, por lo que hay un número fijo sobre cuántas bolas de radio $4r/3$ puede contener cualquier punto, lo que da un límite al número que puede intersecarse.

Esto es difícil, pero me siento confiado en ello, déjame saber lo que piensas.

TL;DR el número de vecindades en la cubierta es finito por compacidad, y cada punto sólo interseca un número acotado de bolas en cada cubierta porque una métrica riemanniana es eq. Bilipschitz a la métrica euclidiana.