Número de homomorphisms de $D_n$ $S_n$

Question

Calcular el número de homomorphisms de $D_n$ (diedro grupo de orden $2n$) $S_n$ (grupo simétrico de orden $n!$).

Por ejemplo, he calculado para $D_3$ $S_3$y llegó a $10$ $D_4$ $S_4$llegó a $124$.

Answer 1

Podemos usar $\textsf{GAP}$ encontrar el primer par de términos en esta secuencia:

gap> for n in [1..8] do
         Print( Size(AllHomomorphisms(DihedralGroup(2*n),SymmetricGroup(n))), "\n" );
         od;
1
4
10
76
146
3616
5272
195280

Esta secuencia no aparece en la OEIS. Tenga en cuenta que el 76 no está de acuerdo con el OP del resultado de 124.

No es difícil averiguar a cuántos homomorphisms no de $D_p$ $S_p$al $p$ es primo. Si $\varphi\colon D_p\to S_p$ es un homomorphism, a continuación, $\varphi(r)$ debe tener un orden $1$ o $p$:

• Si $\varphi(r)$ es la identidad, entonces, $\varphi(s)$ puede ser cualquier elemento inverso de a $S_p$.

• Si $\varphi(r)$ orden $p$, debe ser un $p$-ciclo, de los cuales hay $(p-1)!$ opciones posibles. A continuación, $\varphi(s)$ debe ser un elemento de orden dos que conjuga esta $p$-ciclo a su inverso, de la que no son exactamente $p$ opciones, para un total de $p(p-1)! = p!$ homomorphisms de este tipo.

Por lo que el número total de homomorphisms $D_p\to S_p$ es $$ a_p \,+\, p! $$ donde $a_p$ es el número de $\sigma\in S_p$ que $\sigma^2=1$. La secuencia de $a_n$ es de entrada A000085 en la OEIS, y no parecen tener una buena forma cerrada de la fórmula.

Por cierto, esta fórmula está de acuerdo con el $\textsf{GAP}$ los datos anteriores para $n=2,3,5,7$. No funciona al $n$ no es el primer puesto que el orden de $\varphi(r)$ puede ser cualquier divisor de $n$, y debido a un elemento de orden $n$ $S_n$ no necesitas ser un $n$-ciclo.

Answer 2

Al igual que con los lineales de los mapas y de los espacios vectoriales, homomorphisms están determinados por el lugar de enviar la generación de los elementos del grupo. Para el diedro grupo, estos generadores son un elemento de orden $n$ ( $r$ ) y un elemento de orden dos ( $s$ ). Así que la pregunta es, ¿qué valores puede $\phi(r)$$\phi(s)$?

Una cosa que ayuda es que el orden de $\phi(r)$ debe dividir el orden de $r$ (desde $r^k = 1$ implica $\phi(r)^k = \phi(r^k) = 1$), y por lo que la respuesta tendrá algo que ver con el número de elementos en $S_n$ cuya orden se divide $n$.

Edit: Como se señaló en el comentario de abajo, los dos generadores de $D_n$ adicional de la relación que $srs = r^{-1}$, por lo que su imagen debe compartir la misma relación (ie $\phi(s)\phi(r)\phi(s) = \phi(r)^{-1}$. Así que una vez que haya determinado la cantidad de opciones que hay para $\phi(r)$, usted debe calcular la cantidad de elementos de orden uno o dos de satisfacer esta propiedad, con el fin de determinar cuántas opciones hay para $\phi(s)$.

Answer 3

Posiblemente con el Primer Teorema de Isomorfismo y usando el hecho de que el número de homomorphisms es igual al número de naturales homomorphisms es decir, el número de subgrupos normales $D_n$ tiene?