Sobre la traducción de subconjuntos de $\Bbb R^2.$

Question

Estoy buscando un par de juegos $A,B$ de puntos en $\Bbb R^2$ tal que

• $A$ es una unión de copias traducidas (sólo se permiten traducciones) de $B;$
• $B$ es una unión de copias traducidas de $A;$
• $A$ no es una copia traducida de $B$ (y al revés, que sigue).

Las uniones son arbitrarias, incluso incontables, y no tienen por qué ser disjuntas.

Ni siquiera puedo decidir si creo que tal $A,B$ debe existir o no. ¿Podría ayudarme?

He mirado en muchos conjuntos diferentes, y sospecho que si tales conjuntos existen, entonces $A$ et $B$ tiene que ser bastante extraño, pero no puedo probar nada interesante aparte de que $A$ et $B$ no puede ser finito. Me parece improbable que pueda haber ejemplos de medida finita positiva, pero no puedo demostrarlo. Lo he intentado con muchos conjuntos de medida cero y de medida infinita, pero realmente no tengo ni idea. (Debo señalar que si tales conjuntos existen pero no son de medida, también me interesan).

Lo siento si las etiquetas están mal, pero no estoy seguro de cuáles usar.

Añadido. Creo que definir $A$ et $B$ recursivamente podría funcionar. Si tomo dos conjuntos de vectores $X$ et $Y$ entonces un conjunto $A_0$ y, a continuación, defina $B_n=A_{n-1}+X,$ $A_n=B_n+Y$ para $n>0$ entonces $$\left(\bigcup_{n\geq0}A_n\right)+X=\bigcup_{n\geq0}(A_n+X)=\bigcup_{n>0}B_n$$

y también $$\left(\bigcup_{n>0}B_n\right)+Y=\bigcup_{n>0}(B_n+X)=\bigcup_{n>0}A_n.$$

Así que si $\displaystyle\bigcup_{n\geq0}A_n=\bigcup_{n>0}A_n$ o, lo que es lo mismo, $\displaystyle A_0\subseteq\bigcup_{n>0}A_n,$ entonces los conjuntos $A=\displaystyle\bigcup_{n>0}A_n$ et $B=\displaystyle\bigcup_{n>0}B_n$ son uniones de copias traducidas entre sí. Una forma obvia de conseguirlo es tener un $x\in X$ tal que $-x\in Y.$ Entonces $$A_0=A_0+x-x\subseteq A_0+X+Y=A_1.$$ Pero también $$A+x\subseteq A+X=B$$ et $$B-x\subseteq B+Y=A,$$ de donde $B\subseteq A+x$ y así $A+x=B.$ Así que esto no funciona.

Creo que podría ser una buena idea hacer la "vuelta al $A_0$ " dan infinitos pasos, por lo que los vectores que se utilizan para "volver" no suman ningún vector único. Por desgracia, esto es bastante vago. Voy a pensar en ello, pero si usted tiene alguna idea sobre esto específicamente, por favor comparta.

Answer 1

Este par de conjuntos existe.

Sea $H={\Bbb Z}^{\omega}$ sea la suma directa de un número contable de copias del grupo aditivo $\Bbb Z$ (indexados por los números enteros positivos), y sea $G=H\oplus H$ . Está claro que $G$ puede incrustarse en el grupo aditivo ${\Bbb R}^2$ por lo que bastará con encontrar dos subconjuntos $A$ et $B$ de $G$ tal que $A$ es la unión de los traslados de $B$ , $B$ es la unión de los traslados de $A$ y $A$ et $B$ no se traducen mutuamente.

Dado $x=(x_i)\in H$ , dejemos que $|x|=\sum_i x_i$ sea la suma de sus coordenadas. Además, sea $e_1$ , $e_2$ , $\dots$ son los vectores base de coordenadas de $H$ de modo que $(e_i)_j$ es $1$ si $i=j$ et $0$ de lo contrario. A continuación, establezca $$A:=\{(v,w)\in G\mid |v|=|w|, v_i\ge -1, w_j\ge -1 \text{ for all } i, j\},$$ $$B:=\{(v,w)\in G\mid |v|=|w|+1, v_i\ge -1, w_j\ge -1 \text{ for all } i, j\},$$ $$V:=\{(e_i,0)\mid i=1, 2, 3, \dots\},$$ $$W:=\{(0,e_j)\mid j=1, 2, 3, \dots\}.$$ Entonces:

• $B=A+V$ . Es evidente que $A+V\subseteq B$ . En el otro sentido, si $(v,w)\in B$ hay algo de $i$ tal que $v_i=0$ . Entonces $(v,w)=(e_i,0)+(v-e_i,w)$ y $(v-e_i,w)\in A$ .

• $A=B+W$ . Es evidente que $B+W\subseteq A$ . En el otro sentido, si $(v,w)\in A$ hay algo de $j$ tal que $w_j=0$ . Entonces $(v,w)=(0,e_j)+(v,w-e_j)$ y $(v,w-e_j)\in B$ .

• $A$ no es una traducción de $B$ . Porque, supongamos $A=B+(\delta,\epsilon)$ para algunos $\delta$ , $\epsilon\in H$ . Entonces, para todo $i$ ya que $(-e_1-e_2-\cdots-e_i,-e_1-e_2-\cdots-e_{i+1})\in B$ y añadiendo este vector a $(\delta,\epsilon)$ debe producir un elemento de $A$ debemos tener $\delta_1$ , $\delta_2$ , $\dots$ , $\delta_i$ , $\epsilon_1$ , $\dots$ , $\epsilon_i$ no negativo. Por otra parte, puesto que $(-e_1-e_2-\cdots-e_i, -e_1-e_2-\cdots-e_i)\in A$ y restando $(\delta,\epsilon)$ de este vector debe producir un elemento de $B$ debemos tener $\delta_1$ , $\dots$ , $\delta_i$ , $\epsilon_1$ , $\dots$ , $\epsilon_i$ no positivo. Juntando estos resultados, encontramos que $\delta_i=\epsilon_i=0$ para todos $i$ . Esto contradice $A=B+(\delta,\epsilon)$ .

Esto completa la prueba.

Answer 2

Si no he cometido un error tonto ( Lo he hecho, ver comentarios ), encontrar tal par de conjuntos es imposible. Sea $A,B \subset \mathbb{R}^n$ . Supongamos que hemos encontrado "conjuntos de traducción" $X,Y$ tal que \begin{align*} \bigcup_{x \in X} A + x = B && \bigcup_{y \in Y} B + y = A. \end{align*} Argumentaremos que $A$ et $B$ se traducen entre sí. La condición anterior puede reescribirse como \begin{align*} A + X = B && B + Y = A. \end{align*} Sin pérdida de generalidad, $0 \in X$ et $0 \in Y$ o bien podemos hacer las sustituciones \begin{align*} A \to A+x+y && B \to B+x+y && X \to X-x && Y \to Y - y \end{align*} para algunos puntos $x \in X$ , $y \in Y$ que no afecta a la cuestión de si $A,B$ son traducciones. Pero entonces, tenemos $A \subset A + X =B$ et $B \subset B+Y = A$ que dice $A =B$ .