Así que esta pregunta de los deberes está en el contexto de $\mathbb{R}$ y utilizamos la medida de Lebesgue.
La suma $A+B$ se define como $A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}$ . La cuestión es: si $m(A),m(B)>0$ ¿es necesariamente el caso de que $A+B$ contiene un intervalo abierto?
Esta pregunta es bastante molesta, ya que es bastante difícil calcular la suma incluso después de construir un ejemplo. Sin embargo, parece que, independientemente de cómo construya un conjunto de medida positiva, hay una región que tiene muchos puntos en ella (aunque esta región no es necesariamente densa). Esto sugiere que cuando se suman, los agujeros deben ser cubiertos de alguna manera y por lo tanto habría un intervalo abierto, y así la respuesta es sí. Perdón por la idea tan vaga, pero es que no estoy seguro de qué hacer con este problema. Tengo la sensación de que de alguna manera la topología tendría una forma de captar precisamente la idea anterior sobre una región con muchos puntos.
(además, creo que mi profesor de secundaria lo mencionó una vez, y recuerdo que la respuesta fue afirmativa; pero de eso hace ya bastante tiempo)
Gracias. Cualquier ayuda será apreciada.
EDIT2: Así que la respuesta de Camilo no está. Ahora mismo estoy mirando el método de la convolución. Como la convolución es continua, si es distinta de cero he terminado. Pero entonces no hay garantía de que la convolución sea distinta de cero aunque $x\in A+B$ . Todavía necesito ayuda con esta dirección. ¿Puede alguien darme algunas pistas?
EDIT: La respuesta de Camilo más abajo sugiere esencialmente el método de obtener 2 intervalos abiertos a partir del teorema de la regularidad, uno que cubra un subconjunto de A y otro que cubra un subconjunto de B tal que la suma de la medida de estos dos subconjuntos sea mayor que la medida del intervalo mayor. La respuesta de user99680 apunta a una wiki que muestra un método que esencialmente simplemente adquiere un conjunto abierto. Después de pensar un poco, creo que este método simplemente no puede ser hecho para trabajar. Construí este ejemplo con la esperanza de que te convenza de que es el caso:
Dejemos que $I_{0},I_{1},\ldots$ sean intervalos abiertos disjuntos tales que la distancia entre 2 de ellos cualesquiera sea distinta de cero y $m(I_{n})=9^{-n}$ y todos ellos están dentro $[0,2]$ . Sea $J_{0},J_{1},\ldots$ sean intervalos abiertos disjuntos tales que la distancia entre 2 de ellos cualesquiera sea al menos $3$ et $m(J_{3n})=m(J_{3n+1})=m(J_{3n+2})=\frac{m(I_{n})}{3}$ . Sea $O=\bigcup I_{n}$ et $H=\bigcup J_{n}$ . Construir $A\subset O$ tal que $m(A\bigcap I_{n})=\frac{3m(I_{n})}{4}$ . Construir $B\subset H$ tal que $m(B\bigcap J_{n})=\frac{3m(J_{n})}{4}$ . Ahora bien, si aplicas el método de Camilo, es posible que tu $I$ sería uno de los $I_{n}$ arriba, y su $J$ es uno de los $J_{m}$ arriba. No importa qué $I_{n},J_{m}$ que tienes, el argumento no funciona. Vuelva a escribir $m=3q+r$ donde $0\leq r\leq 2$ . Si $q<n$ entonces $m(J_{m})>m(I_{n})$ por lo que el intervalo más largo tiene longitud $\frac{m(I_{q})}{3}$ ; $m(A\bigcap I_{n})$ es como máximo $\frac{3m(I_{q+1})}{4}=\frac{m(I_{q})}{12}$ et $m(B\bigcap J_{m})=\frac{3m(J_{m})}{4}=\frac{m(I_{q})}{4}$ . Así, $m(A\bigcap I_{n})+m(B\bigcap J_{m})$ no es mayor que el intervalo mayor. Si $n\geq q$ entonces $m(I_{n})>m(J_{m})$ por lo que el intervalo mayor es de longitud $m(I_{n})$ ; $m(A\bigcap I_{n})=\frac{3m(I_{n})}{4}$ et $m(B\bigcap J_{m})$ es como máximo $\frac{3m(J_{3n})}{4}=\frac{m(I_{n})}{4}$ . Una vez más $m(A\bigcap I_{n})+m(B\bigcap J_{m})$ no es mayor que el intervalo mayor. Por lo tanto, el argumento de Camilo no funciona. El método de user99680 tampoco funciona, ya que se obtiene $O$ et $H$ que es incluso mayor que cualquier intervalo.
