Hay mucha confusión sobre lo que se entiende exactamente por velocidad de la luz en la relatividad general, por lo que creo que vale la pena examinar esto con cierto cuidado. La cuestión resulta ser absolutamente fundamental para la relatividad general.
La relatividad especial
Empecemos por la relatividad especial. Aunque rara vez se presenta como tal, la relatividad especial no es más que el límite del espaciotiempo plano de la relatividad general, es decir, es la geometría del espaciotiempo descrita por la métrica de Minkowski:
$$\mathrm ds^2 = -~c^2~\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 \tag{1} $$
donde utilizamos la coordenada temporal $t$ y las coordenadas espaciales cartesianas $x$ , $y$ y $z$ . El parámetro $c$ es una constante, y por ahora no hagamos ninguna suposición sobre ella, aunque veremos que resulta ser la velocidad de la luz.
La luz (y cualquier partícula sin masa) viaja en trayectorias nulas, es decir, aquellas trayectorias en las que $\mathrm ds = 0$ y si lo sustituimos en la ecuación (1) obtenemos, tras un pequeño reordenamiento
$$ c = \frac{\sqrt{ \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2}}{\mathrm dt} $$
Pero $\sqrt{ \mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2}$ es simplemente la expresión de Pitágoras para la distancia total movida en el espacio - llamémosla $\mathrm dr$ - por lo que obtenemos:
$$ c = \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} $$
Y esto es sólo la velocidad de la luz así:
la constante $c$ es la velocidad de la luz
La métrica de Minkowski no cambia con ninguna transformación de Lorentz, por lo que todos los observadores relacionados por transformaciones de Lorentz medirán la velocidad de la luz con el mismo valor constante $c$ . A esto nos referimos cuando decimos que en la relatividad especial la velocidad de la luz es constante.
Pero incluso en la relatividad especial las cosas no son tan simples como parecen inicialmente. La métrica (1) describe el espaciotiempo para un observador inercial, y las transformaciones de Lorentz relacionan los marcos de los observadores inerciales. Sin embargo, es posible tener observadores acelerados, por ejemplo observadores en un cohete que acelera con cierta aceleración $a$ y para obtener la métrica para un observador acelerado tenemos que utilizar una transformación de Rindler. Esto nos da la métrica de Rindler para una aceleración adecuada $a$ :
$$ \mathrm ds^2 = -~ \left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)^2 c^2~\mathrm dt^2 +\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2 \tag{2} $$
Si utilizamos el mismo truco que antes para calcular la velocidad de la luz obtenemos
$$ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left(1 + \frac{a}{c^2}x \right) \tag{3} $$
Y descubrimos que la velocidad de la luz no es constante sino que varía en un factor de $\left(1 + \frac{a}{c^2}x \right)$ donde $x$ es la distancia al observador. ¿Qué es lo que ocurre? Bueno, hay dos puntos clave a tener en cuenta
En primer lugar, se trata de la misma luz que el observador no acelerador mide para tener la velocidad $c$ y la luz no ha cambiado. Lo que ha cambiado es que las coordenadas espaciales del observador que acelera se curvan debido a la aceleración. La diferente velocidad de la luz se debe a un cambio en las coordenadas, no a un cambio en la luz. Por esta razón nos referimos a la velocidad que hemos calculado anteriormente como la velocidad de la luz en coordenadas, es decir, es la velocidad medida en cualquier coordenada que el observador esté utilizando. Cuando esas coordenadas son curvas, la velocidad será generalmente diferente de $c$ .
En segundo lugar, aunque la velocidad de la luz puede variar en el marco de aceleración, veamos qué ocurre en la posición del observador, es decir, en $x = 0$ . Cuando sustituimos $x=0$ la ecuación (3) se simplifica a:
$$ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c $$
Y encontramos que la velocidad de la luz en la posición del observador es $c$ al igual que el observador no acelerado. Lo llamamos velocidad local de la luz porque se mide localmente, es decir, en la posición del observador.
Así que lo que hemos encontrado es:
-
La velocidad de coordenadas de la luz puede ser diferente de $c$
-
La velocidad local de la luz sigue siendo $c$
La relatividad general
Ahora, sobre la relatividad general. En la relatividad general describimos el espacio-tiempo como una variedad lorentziana, y la resolución de la ecuación de Einstein nos da la forma de esta variedad, es decir, la métrica. Para escribir la métrica necesitamos elegir un sistema de coordenadas, y en la RG todos los sistemas de coordenadas son igualmente válidos y podemos elegir el sistema de coordenadas que queramos. En general, tratamos de elegir las coordenadas que nos faciliten los cálculos.
Para nuestros propósitos, el punto clave es que para una variedad lorentziana siempre hay una elección de coordenadas que hace que la geometría del espaciotiempo sea localmente la métrica de Minkowski, es decir, siempre hay una elección de coordenadas que hace que el espaciotiempo sea localmente plano. Estas coordenadas corresponden al marco de reposo de un observador en caída libre, de modo que para un observador en caída libre es como si estuviera en reposo en un espaciotiempo plano. Esto sólo es cierto localmente, y a medida que nos alejamos del observador en caída libre la curvatura del espaciotiempo causará fuerzas de marea, sin embargo en la posición del observador las fuerzas de marea se reducen a cero.
Pero ya sabemos por la discusión anterior que en un espaciotiempo de Minkowski la velocidad de la luz es la constante $c$ y eso significa que nuestro observador en caída libre siempre mide la velocidad local de la luz como la constante $c$ .
¿Pero qué pasa con los observadores que no caen libremente? Voy a pasar por alto esto y decir simplemente que para cualquier observador que no esté cayendo libremente el espaciotiempo se parece localmente a un espaciotiempo de Rindler. Y como ya hemos dicho, en un espaciotiempo de Rindler la velocidad local de la luz es también la constante $c$ . Así que incluso un observador que acelera también mide la velocidad de la luz para ser la constante $c$ .
Así que, al igual que en la relatividad especial, terminamos con la conclusión:
La velocidad local de la luz es $c$
Y esto es lo que queremos decir cuando decimos que la velocidad de la luz es constante en la relatividad general.
Como hemos comprobado anteriormente para observadores acelerados en el espaciotiempo plano la velocidad de coordenadas de la luz puede no ser igual a $c$ . Tomaremos el ejemplo de la métrica de Schwarzschild, que describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro estático:
$$\mathrm ds^2 = -~\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2~\mathrm dt^2 + \frac{\mathrm dr^2}{1 - r_s/r} + r^2~\left(\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta~\mathrm d\phi^2\right) $$
Calculamos la velocidad de las coordenadas igual que antes. Supondremos que el rayo de luz se mueve en dirección radial, de modo que $\mathrm d\theta = \mathrm d\phi = 0$ y como antes sustituyendo $\mathrm ds=0$ nos da la velocidad de las coordenadas:
$$ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left(1-\frac{r_s}{r}\right) $$
Y encontramos que la velocidad de las coordenadas no es $c$ . Sin embargo, las coordenadas de Schwarzschild son las coordenadas para un observador en el infinito, es decir, en $r=\infty$ por lo que obtenemos la velocidad local de la luz para este observador sustituyendo $r=\infty$ para conseguirlo:
$$ \frac{dr}{dt} = c \left(1-\frac{r_s}{\infty}\right) = c $$
Así que una vez más la velocidad local de la luz es $c$ . No lo haré porque el álgebra es un poco tediosa, pero es fácil demostrar que para cualquier observador en un espaciotiempo de Schwarzschild la velocidad local de la luz es también sólo la constante $c$ . Así que como antes terminamos con la conclusión de que para todos los observadores en el espaciotiempo de Schwarzschild la velocidad local de la luz es $c$ .
Y finalmente
Me he desviado mucho de tu pregunta original, pero mi objetivo es hacer ver que la velocidad local de la luz sigue siendo $c$ incluso en GR. La velocidad coordinada de la luz puede no ser $c$ pero podemos elegir las coordenadas que queramos y, de hecho, diferentes observadores utilizarán, en general, coordenadas diferentes, por lo que no hay nada especial o único en la velocidad de las coordenadas.
Una vez hecho esto, volvamos a tu pregunta sobre el potencial gravitatorio. Aparte de algunos casos especiales, es muy difícil resolver la ecuación de Einstein para obtener la métrica. Sin embargo, si los campos gravitatorios son débiles, podemos utilizar una aproximación llamada límite de campo débil. En este caso la métrica es:
$$ \mathrm ds^2 \approx -\left( 1 + \frac{2\Delta\phi}{c^2}\right) c^2~\mathrm dt^2 + \frac{1}{1 + 2\Delta \phi/c^2}\left(\mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2\right) $$
donde $\Delta \phi$ es la diferencia del potencial gravitatorio newtoniano desde la posición del observador. Y calculando la velocidad coordenada de la luz como antes nos da:
$$ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c \left( 1 + \frac{2\Delta \phi}{c^2}\right) $$
Para obtener la velocidad local de la luz observamos que en la posición del observador $\Delta\phi=0$ por lo que la velocidad local de la luz es:
$$ \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = c $$
¡Sorpresa, sorpresa!
2 votos
El velocidad de coordenadas de la luz sólo es constante en las regiones sin potencial. En la práctica, sin embargo, hay que tener en cuenta que normalmente $|\Phi| \ll 1$ excepto en casos especiales como los agujeros negros ( $=1/2$ ) y las estrellas de neutrones, por lo que el cambio relativo no es muy grande.
7 votos
(Tal vez fuera del tema) ¿Puedo sugerir que se estudie la RG utilizando la literatura moderna? Es evidente que Einstein fue un genio y la persona que estuvo detrás de la RG en un principio, pero sus documentos no son adecuados para que los principiantes estudien el tema. Hoy en día la RG se ha hecho famosa y ha surgido una gran cantidad de literatura para todos los niveles (desde el introductorio hasta el profesional).