¿Alguien sabe de referencia, lo que demuestra la siguiente:
Deje $a,b\in \mathbb{R}$$a<b$. No hay ninguna norma en el espacio de $C^\infty([a,b])$, lo que la convierte en un espacio de Banach.
Respuestas
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Literalmente, la afirmación es errónea, ya que el espacio tiene dimensión $2^{\aleph_0}$, y son espacios de Banach con la misma dimensión (por ejemplo, el $\ell^p(\mathbb{N})$ espacios). Desde los racionales son densos en $[a,b]$, hay un lineal de inyección de $C^\infty([a,b])$ a $\mathbb{R}^{\mathbb{Q}\cap [a,b]}$, y el último espacio tiene cardinalidad
$$\operatorname{card}(\mathbb{R})^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0},$$
por lo $\dim C^\infty([a,b]) \leqslant 2^{\aleph_0}$. Por otro lado, las funciones de $t\mapsto e^{ct},\, c\in\mathbb{R}$ son linealmente independientes, por lo que la dimensión es, al menos,$2^{\aleph_0}$.
Lo que se quiere decir, aunque no se dice, cuando se hace esta afirmación, es que el espacio $C^\infty([a,b])$ natural topología : el habitual espacio de Fréchet topología inducida por la seminorms $\lVert f\rVert_k = \sup \{ \lvert f^{(k)}(t)\rvert : t\in [a,b]\}$ $k\in\mathbb{N}$ - no es normable.
Una manera fácil de ver que es tener en cuenta que el $C^\infty([a,b])$ es un Fréchet-Montel espacio, es decir, todo cerrado y limitado subconjunto es compacto. Que es una aplicación repetida de la Ascoli-Arzelà teorema; el acotamiento de $\{f^{(k+1)} : f\in B\}$ implica que el equicontinuity de $\{ f^{(k)} : f\in B\}$.
Pero una normativa espacio en el que se Montel-Heine-Borel propiedad si y sólo si es finito-dimensional.
orangeskid
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Suponga que existe una norma de la generación de la topología. Considerar el abrir de la unidad de balón $B$$0$. Desde el seminorms $f \mapsto \sup ||f^n||$ definir la misma topología existe
una $\epsilon > 0$$n$, de modo que
$$\{ f \ | \sup ||f^{(i)}|| <\epsilon, i=1,\ldots n\} \subset B$$
El conjunto $\{ f \ | \ \sup ||f^{(n+1)}|| < 1 \} $ es una vecindad de a$0$, por lo que existe un $\delta>0 $, de modo que $\delta B \subset \{ f \ | \ \sup ||f^{(n+1)}|| < 1 \} $. Se concluye de lo anterior que
$$\{ f \ | \sup ||f^{(i)}|| <\epsilon\cdot \delta\ ,\ i=1,\ldots n\} \subset \{ f \ | \ \sup ||f^{(n+1)}|| < 1 \} $$ y por lo tanto
$$\sup ||f^{(n+1)}|| \le \frac{1}{\epsilon \cdot \delta} \max ( \sup ||f^{(i)}|| , i=1,\ldots n)$$
para todos los $f$.
No es demasiado difícil ver que tal desigualdad no es posible. Por ejemplo, considere el $f$ $f^{(n)}(x) = \frac{1}{M} \sin (Mx)$ grandes $M$.
Tenga en cuenta que no existe una métrica que define la topología dada por $d(f,g) = \rho(f-g)$ donde $$\rho(f) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\sup ||f^{(n)}||}{1+\sup ||f^{(n)}||}$$
