Para un grado de libertad cuya energía es cuadrática sólo en el momento (pero plana en posición, o plana con paredes duras), la energía media es clásicamente $kT/2$ . Este es el teorema básico de equiparación para un gas ideal. Sin embargo, un resultado menos conocido es que un grado de libertad clásico con energía cuadrática tanto en el momento como en la posición tiene una energía media de $kT$ . Los átomos en un sólido están en cierto sentido cada uno en un oscilador armónico de 3 vías (este es el modelo de Einstein) y por lo tanto uno tiene $3NkT$ energía, es decir $3Nk$ capacidad calorífica.(†)
Para entenderlo de forma intuitiva, por supuesto, debes derivar el teorema de equipartición por ti mismo. Pero, básicamente, al tener la energía también cuadrática en la posición haces que los estados de menor energía sean menos comunes; no sólo la baja energía requiere un pequeño momento, sino también una posición particular. Al aumentar la energía, cada vez hay más posiciones disponibles. En cambio, con un potencial plano, la posición siempre puede tomar cualquier valor, por lo que un estado de baja energía sólo necesita que el momento sea pequeño.
Por lo tanto, si se imagina cada átomo en un sólido como si estuviera dentro de su propia caja con paredes duras, entonces tal modelo sólo daría $3Nk/2$ capacidad calorífica.
(†) Bien, en realidad los átomos están todos acoplados, sin embargo, cuando se mira de esta manera, ya no se puede hablar simplemente de las contribuciones separadas de los átomos individuales. Mirando estas vibraciones enteras se obtienen los fonones y el modelo de Debye. Básicamente, todos los osciladores armónicos atómicos se mezclan en varios modos, pero por supuesto el número de modos sigue siendo el mismo que el número original de osciladores individuales. Sin embargo, cada modo es en sí mismo un oscilador armónico, por lo que se obtiene el $3Nk$ capacidad calorífica a alta temperatura.(‡)
(‡) En realidad, sólo $3(N-\frac{1}{2})k$ ya que tres de los modos colectivos no oscilan sino que corresponden al movimiento lineal de todo el bloque de material. Por lo tanto, esos tres modos dan cada uno sólo $kT/2$ .