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¿Cuáles son los seis grados de libertad de los átomos en un sólido?

Un gas ideal monoatómico tiene capacidad calorífica $C_v=1.5$ que proviene de los tres grados de libertad traslacionales. Para los sólidos a alta temperatura, $C_v=3$ lo que implica seis grados de libertad.

¿Qué son esos seis grados de libertad? No sé mucho sobre el funcionamiento de los sólidos, pero supongo que la traslación y la rotación no contribuyen. ¿Qué es entonces? ¿La vibración?

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Nanite Puntos 1721

Para un grado de libertad cuya energía es cuadrática sólo en el momento (pero plana en posición, o plana con paredes duras), la energía media es clásicamente $kT/2$ . Este es el teorema básico de equiparación para un gas ideal. Sin embargo, un resultado menos conocido es que un grado de libertad clásico con energía cuadrática tanto en el momento como en la posición tiene una energía media de $kT$ . Los átomos en un sólido están en cierto sentido cada uno en un oscilador armónico de 3 vías (este es el modelo de Einstein) y por lo tanto uno tiene $3NkT$ energía, es decir $3Nk$ capacidad calorífica.(†)

Para entenderlo de forma intuitiva, por supuesto, debes derivar el teorema de equipartición por ti mismo. Pero, básicamente, al tener la energía también cuadrática en la posición haces que los estados de menor energía sean menos comunes; no sólo la baja energía requiere un pequeño momento, sino también una posición particular. Al aumentar la energía, cada vez hay más posiciones disponibles. En cambio, con un potencial plano, la posición siempre puede tomar cualquier valor, por lo que un estado de baja energía sólo necesita que el momento sea pequeño.

Por lo tanto, si se imagina cada átomo en un sólido como si estuviera dentro de su propia caja con paredes duras, entonces tal modelo sólo daría $3Nk/2$ capacidad calorífica.

(†) Bien, en realidad los átomos están todos acoplados, sin embargo, cuando se mira de esta manera, ya no se puede hablar simplemente de las contribuciones separadas de los átomos individuales. Mirando estas vibraciones enteras se obtienen los fonones y el modelo de Debye. Básicamente, todos los osciladores armónicos atómicos se mezclan en varios modos, pero por supuesto el número de modos sigue siendo el mismo que el número original de osciladores individuales. Sin embargo, cada modo es en sí mismo un oscilador armónico, por lo que se obtiene el $3Nk$ capacidad calorífica a alta temperatura.(‡)

(‡) En realidad, sólo $3(N-\frac{1}{2})k$ ya que tres de los modos colectivos no oscilan sino que corresponden al movimiento lineal de todo el bloque de material. Por lo tanto, esos tres modos dan cada uno sólo $kT/2$ .

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BLAZE Puntos 119

Hay 3 direcciones de vibración: a saber, los componentes $x$ , $y$ y $z$ y cada una de estas direcciones tiene 2 grados de libertad; uno de energía potencial y otro de energía cinética. Así que en total hay $3\times 2 = 6$ grados de libertad.

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Joe Perkins Puntos 11

Los seis grados de libertad son, efectivamente, como suponías, vibracionales. Al igual que hay tres grados de libertad traslacionales, cada uno para una dirección espacial, hay dos (el número de modos normales) grados de libertad vibracionales por dirección. Esto hace un total de $3*2=6$ grados de libertad por átomo.

Respuesta al comentario; relacionar los modos normales y los grados de libertad

Un oscilador puede vibrar de muchas maneras diferentes, pero todas son una superposición de sus modos normales. En este sentido, es algo análogo, por ejemplo, a los estados propios del hamiltoniano en los problemas de QM. Por ejemplo, hay dos estados de espín (arriba y abajo) para un electrón, y sólo puede estar en una superposición de esos dos. Del mismo modo, un sistema con dos modos normales sólo puede estar en una superposición de estas dos "vibraciones base". Por tanto, el número de modos normales es igual al número de grados de libertad.

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Lo siento. No entiendo lo que quieres decir con "modos normales". ¿El número de modos no depende del número de partículas que tenga el sistema?

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@TheQuantumPhysicist 6 sería el número de grados de libertad por átomo . ¿Es eso lo que quieres decir?

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¿Significa esto que el número de DOF depende de la estructura reticular del sólido, de modo que no es el mismo para todos los sólidos?

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ahilsend Puntos 220

Grado de libertad = número de formas de moverse libremente

En general, hay tres ejes por los que moverse para cualquier partícula, átomo o molécula: el eje x, el eje y y el eje z.

En el sólido, la partícula/molécula/átomo no puede moverse libremente ya que está congestionada por los átomos que la rodean en comparación con los gases.

Sin embargo, son libres de moverse a lo largo de esos ejes x, y y z con la ayuda de su energía o la de los vecinos. Permítanme explicar esto: La energía personal del átomo puede considerarse como su energía potencial, que puede utilizarse para moverse a lo largo de cualquiera de esos tres ejes (x,y o z). Esto significa que la energía potencial del átomo puede utilizarse para moverse a lo largo de cualquiera de los tres ejes empujando a los átomos vecinos a lo largo de esos ejes. Por lo tanto, tiene 3 direcciones o grados o ejes para moverse libremente utilizando su propia energía. Por lo tanto, 3 formas de moverse libremente utilizando su energía personal.

El resto de las 3 formas o grados que hacen que un átomo se mueva libremente en el sólido es que sea golpeado por los átomos vecinos a través de cualquiera de esos 3 ejes (x,y o z).

Por lo tanto, en los sólidos el átomo puede moverse libremente en esos tres ejes empujando a los átomos vecinos o siendo empujado por los átomos vecinos a lo largo de esos ejes x, y o z.

3 ejes para empujar a otros átomos + los mismos 3 ejes para ser empujados por otros átomos = 6 formas de moverse ( Libertad ).

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Creo que tu definición de "grados de libertad" es errónea. Los consideras como "formas de moverse", pero esto no es lo suficientemente preciso como para derivar nada. Puedo patear una pelota, lanzarla, dejarla caer... etc etc, esas diferentes "formas de moverse" no son diferentes grados de libertad. Por lo tanto, creo que tu respuesta es incorrecta.

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