¿Se puede resolver el cubo de Rubik usando teoría de grupos?

Question

¿Se puede resolver el cubo de Rubik utilizando la teoría de grupos? Si es así, ¿cómo podemos usarla para resolver un cubo de Rubik de $2\times2$?

Answer 1

La parte difícil de responder a esta pregunta es decidir qué significa "usar" la teoría de grupos para resolver el cubo.

Claramente es posible aprender a resolver el cubo sin conocer ninguna teoría de grupos, simplemente memorizando un procedimiento para hacerlo. Y se puede llegar muy lejos más allá de la memorización pura y simple solo con intuición geométrica / espacial, nuevamente sin recurrir abiertamente a la teoría de grupos.

Por otro lado, muchas personas que resuelven cubos y conocen la teoría de grupos tienden a pensar en términos grupales mientras resuelven, o al menos mientras refinan sus métodos de resolución. Muchas combinaciones bien conocidas pueden analizarse como conmutadores o conjugaciones de elementos en el grupo del cubo, lo que facilita recordarlos y comprender por qué funcionan.

Cuando se trata de estar seguro de que el método de solución siempre funciona, no creo que haya ninguna manera razonable de evitar la teoría de grupos. Por ejemplo, si buscas un método de libro de cocina para resolver el cubo, no te dice qué hacer si terminas en un estado donde el cubo está resuelto excepto que dos piezas de esquina necesitan ser intercambiadas. En el mejor de los casos, el método de libro de cocina afirmará que esta situación no puede ocurrir usando movimientos legales, pero para convencerte de que esto es cierto (excepto por la combinación de la experiencia de muchas experimentaciones), necesitas algún tipo de prueba. Y esta prueba estará basada en la teoría de grupos de permutación, o reinventará efectivamente una parte de esta teoría con palabras diferentes.

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Resuelvo los cubos 2x2x2 imaginando que son 3x3x3 y solo haciendo aquellas partes de mis métodos habituales que se ocupan de las piezas de esquina. Sin duda hay formas más eficientes de hacerlo.

Answer 2

No puedo permitir que esta pregunta pase sin mencionar a: Morwen Thistlewaite. Este es un matemático británico que utilizó la teoría de grupos para encontrar los límites conocidos más pequeños sobre cuántas vueltas de caras son necesarias para alcanzar el estado resuelto desde un estado arbitrario, junto con cierto conocimiento sobre qué vueltas tomar (también conocido como 'Algoritmo de Dios'). En lugar de posicionar cubitos individuales en secuencia, su enfoque es más holístico y se llama 'descenso a través de sub-grupos anidados'. Funciona más o menos así:

A) Comenzar con el grupo completo del Cubo: G.

B) Elegir un conjunto de vueltas de caras que generen un subgrupo adecuado: H [ejemplo: el subgrupo generado por las vueltas de caras L, R, F, B, pero NO U, D]. Para obtener mejores resultados, elija H de manera que |G|/|H| sea lo más pequeño possible.

C) Para cada cosete de H, encontrar la secuencia más corta de vueltas que transformará cualquier miembro del cosete en un miembro del subgrupo [cada cosete es de la forma aH; si b está en aH, entonces bH=aH; encontrar el elemento b en aH generado por las mínimas vueltas, y tomar la secuencia de vueltas para el inverso de b].

D) Si H=E (es decir, H es el subgrupo trivial), detenerse. De lo contrario, reemplazar G con H y regresar a (B).

Para resolver un Cubo desordenado con este enfoque, uno debe determinar qué cosete del subgrupo más alto contiene el estado inicial del Cubo, y hacer la secuencia de vueltas de caras calculadas en (C) para ese cosete; esto cambiará el Cubo a un estado desordenado dentro del subgrupo más alto. Repetir para cada subgrupo anidado sucesivo hasta llegar a E; en ese punto, el Cubo habrá sido desordenado.

Con este enfoque, Thistlewaite inicialmente pudo demostrar que desordenar cualquier estado desordenado toma no más de 26 (?) vueltas [fuente: 'Metamagical Themas' por Hofstadter, en Scientific American (no recuerdo el número exacto)]. Desde entonces, ha podido reducir este número lo suficiente para determinar el número máximo teórico de vueltas requeridas.

Answer 3

[Esto trata sobre cómo los conmutadores y conjugados ayudan con la memorización mecánica. Aún no entiendo cómo se diseñaron los movimientos]

Ref: https://momath.org/wp-content/uploads/2019/03/How-to-Solve-the-Rubiks-Cube_-All-6-Sides.pdf

Para el grupo ${ G }$ y ${ a, b \in G }$ tenemos conmutadores ${ [a, b] = aba^{-1}b^{-1} }$ y conjugados ${ a b a ^{-1} }.$

En el contexto del documento anterior:

En resumen, los principales pasos son:

• Esquinas blancas: Repetir ${ [R ^{-1}, D ^{-1}] }$
• Capa intermedia: ${ [U, R] [U ^{-1}, F ^{-1}] }$ y ${ [U ^{-1}, L ^{-1}][U, F] }$
• Piezas de borde amarillas: ${ F [R, U] F ^{-1} }$ hasta la cruz amarilla, luego ${ (RU) [R ^{-1}, U] (RU) ^{-1} }$ hasta alinear los bordes amarillos
• Permutación de esquinas amarillas: Repetir ${ [U R U ^{-1}, L ^{-1}] }$
• Giro de esquinas amarillas: Efectivamente como las esquinas blancas

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Editar: La página 4 de las notas de Daniel Bump aquí explica la importancia de los conmutadores, y cómo por ejemplo el movimiento ${ [U R U ^{-1}, L ^{-1}] }$ mueve muy pocas piezas en el cubo. (Intuitivamente, porque los soportes de ${ U R U ^{-1} }$ y ${ L ^{-1} }$ se superponen muy poco). La página del curso completo es aquí.

Answer 4

Considere el conjunto $X$ de posibles posiciones del cubo.

Sea $G$ el grupo definido así:

• $1$ no mueve nada
• Numerar los lados del cubo y llamar $g_k$ a la acción de girar el lado $k$ $90^\circ$ a la derecha. El orden de estos $g_k$ es $4$.
• $G$ es generado libremente por el conjunto $\{g_1,\ldots,g_6\}$.

Para cada elemento $g\in G$ tenemos una biyección $$\sigma_g:X\longrightarrow X$$ Dado que $X$ es finito podemos, al menos teóricamente, calcular el orden de esas biyecciones para formar un grupo finito. Con esta información, el cubo podría ser resuelto.