Estoy buscando una interpretación geométrica de este teorema:
Mi libro no dar ningún tipo de explicación. De nuevo, estoy no buscando una prueba que estoy buscando una interpretación geométrica.
Gracias.
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theog
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Inspirado por Ted Shifrin comentario, he aquí un intento en un punto de vista intuitivo. No estoy seguro de cuánto de esto cuenta como una "interpretación geométrica".
Considere la posibilidad de una pequeña plaza $ABCD$ de lado de longitud $h$, con $AB$ a lo largo de la $x$-eje y $AD$ a lo largo de la $$y-eje.
D---C
| | h
A---B
h
Entonces $f_x(Una)$ es de aproximadamente $\frac1h\big(f(B)-f(A)\big)$ y $f_x(D)$ es de aproximadamente $\frac1h\big(f(C)-f(D)\big)$. Así que, asumiendo por $f_{xy}$ nosotros $\frac\partial{\partial y}\frac\partial{\partial x}f$, tenemos $$f_{xy}\approx\frac1h\big(f_x(D)-f_x(A)\big)\approx\frac1{h^2}\Big(\big(f(C)-f(D)\big)-\big(f(B)-f(A)\big)\Big).$$ Del mismo modo, $$f_{yx}\approx\frac1{h^2}\Big(\big(f(C)-f(B)\big)-\big(f(D)-f(A)\big)\Big).$$ Pero esas dos cosas son la misma: ambos corresponden a la "plantilla" $$\frac1{h^2}\begin{bmatrix} -1 y +1\\ +1 y -1 \end{bmatrix}.$$
Milo Brandt
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23147
Una cosa a pensar es que la derivada en una dimensión describe la tangente a las líneas. Es decir, $f$ es una función tal que la siguiente línea, parametrizadas en $x$, es tangente a $f$ en $x_0$: $$y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$ Podríamos, de hecho, ir más allá, y definir la derivada a la función lineal que más se aproxima a $f$ cerca $x_0$. Si queremos ser realmente formal, podríamos decir que una función $y_0$ es una mejor aproximación a $f$ cerca $x$ de $y_1$ si existe algún intervalo abierto alrededor de $x$ tales que $|y_0(a)-f(a)|\leq |y_1(a)-f(a)|$ para todo $a$ en el intervalo. El límite de la definición de la derivada asegura que el más cercano de la función en virtud de esta definición es el $y(x)$ dada anteriormente y se puede demostrar que mi definición es equivalente a la definición de límite.
Yo sólo ir a través de esa formalidad, de modo que podríamos definir la derivada segunda sea el valor que $$y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}2f"(x_0)(x-x_0)^2$$ es la parábola que mejor se aproxima a $f$ cerca $x_0$. Esto puede ser comprobado rigurosamente, si uno desea.
Sin embargo, a pesar de que la idea de la primera derivada tiene una extensión obvia a dimensiones superiores - es decir, lo que de plano mejor se aproxima a $f$ cerca $x_0$, no es tan obvio lo que una segunda derivada, se supone que representa. Claramente, debe de alguna manera representar una función cuadrática, excepto en dos dimensiones. La más sensata manera que se me ocurre para definir una función cuadrática en la dimensión superior, es decir que $z(x,y)$ es "cuadrática" sólo cuando, por cualquier $\alpha$, $\beta$, $x_0$ y $y_0$, la función de una variable $$t\mapsto z(\alpha t+x_0,\beta t+y_0)$$ es cuadrática; es decir, si se recorre a $z$ a través de cualquier línea, se ve como una ecuación cuadrática. Lo bueno de este enfoque es que se puede hacer en una coordenada-de manera libre. Básicamente, estamos hablando de la mejor paraboloide o paraboloide hiperbólico aproximación a $f$ como la segunda derivada. Es lo suficientemente simple para mostrar que dicha función debe ser una suma de los coeficientes de $1$, $x$, $y$, $x^2$, $y^2$, y lo más importante, $xy$. Necesitamos los coeficientes de $xy$ en el fin de asegurarse de que funciona como $a$z(x,y)=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$$ se puede representar como tales funciones deben estar claramente incluidas nuestra nueva definición de segundo grado, pero no puede ser escrito como la suma de $x^2$ y $y^2$ y los términos de orden inferior.
Sin embargo, no suelen definir la derivada de una función, y aquí se han hecho. Esto no es un problema en una dimensión, porque no sólo el coeficiente de $x^2$ para preocuparse, pero en dos dimensiones, coeficientes de tres cosas - $x^2$, $xy$ y $y^2$. Afortunadamente, tenemos los valores de $f_{xx}$, $f_{xy}$ y $f_{yy}$ para lidiar con el hecho de que estos tres términos, existe. Así, podemos definir un conjunto de toneladas de derivados cuando decimos que la mejor aproximación cuadrática de la función debe ser el mapa $$z(x,y)=f(x,y)+f_x(x,y)(x-x_0)+f_y(x,y)(y-y_0)+\frac{1}2f_{xx}(x,y)(x-x_0)^2+f_{xy}(x,y)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{1}2f_{yy}(x,y)(y-y_0)^2$$ Hay dos cosas a tener en cuenta aquí:
En primer lugar, que esta es una bien definida la noción independientemente de si el nombre de coeficientes o argumentos. El conjunto de funciones cuadráticas en dos variables está bien definido, independientemente de cómo se puede escribir en una forma dada. Intuitivamente, esto significa que, teniendo en cuenta la gráfica de la función, podemos dibujar la superficie de acuerdo con las propiedades geométricas de la gráfica de $f$. La existencia de la superficie está implícito en la exigencia de que $f_{xy}$ y $f_{yx}$ de ser continuo.
En segundo lugar, que hay múltiples maneras de expresar la misma función; sería de esperar que no importa si usamos el término $f_{xy}(x,y)(x-x_0)(y-y_0)$ o $f_{yx}(x,y)(y-y_0)(x-x_0)$ porque ambos deben describir la misma función de la superficie - de manera abstracta, ambos dan lo que el coeficiente de $(x-x_0)(y-y_0)$ es para la superficie dada, y dado que la superficie está bien definido sin referencia a los derivados, no hay una respuesta definitiva a lo que el coeficiente de $(x-x_0)(y-y_0)$ es - y si tanto $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son para contestar, lo mejor es ser igual. (En particular, observe que $z(x,y)=xy$ es un paraboloide hiperbólico, que es cero en la $x$ y $y$ ejes; el coeficiente de $(x-x_0)(y-y_0)$ puede ser pensado, más o menos como una medida de cuánto la función de "giros" acerca de los ejes, lo que representa un cambio que no afecta ni al eje, pero afecta a otros puntos)
Narasimham
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Trataré de explicar la comprensión adquirida a partir de la mecánica de materiales o mecánica aplicada.Tan lejos como la interpretación geométrica va, no hay nada más visibles de giro en un trenzado de placa o tira de la cuantificación de la mezcla de derivada parcial.
$f_{xx}$ es la curvatura normal en referencia dirección y $f_{xy} $ es la torsión en la dirección de referencia para una función.Es la tasa de cambio de x-tangencial de rotación traducido con respecto a la dirección de y.
En el nivel de la diferencia de las longitudes ( en un boceto hecho con diferencias finitas) a lo largo de x e y, si $f_{xy}$ es diferente de $ f_{yx}$, entonces los puntos frente al diferencial cuadrilátero no cumplen, y no sería una curva cerrada!
Para una superficie Z= f(x,y).. $Z_{xx}$ son normales curvaturas $Z_{xy}$ es geodésica de torsión de la línea en la superficie en la dirección de referencia .
En el gráfico anterior, un paraboloide hiperbólico ejemplo es dado.La superficie de la misma se gira para obtener diferentes ecuacional formas, para el estudio de las curvaturas en un fijo (eje x) de referencia.
Interpretar geométricamente normal Curvaturas son bien conocidos y reconocidos como $Z_{xx}, Z_{yy} $.
La torsión de la línea de $Z_{xy}$ es la cruz de la derivada.También se le conoce como el Giro de la curvatura.
Tenga en cuenta que la torsión de las asíntotas en el ejemplo se han sentido opuesto, como señal cambia de 2 a -2 por la superficie z = 2 x y cambiar a -2 x y.Direcciones principales de la superficie no tienen la torsión. Las líneas diagonales que se han de torsión máximo con el valor máximo de la mezcla de derivados.
Para entender de torsión en relación a la curvatura y la torsión de líneas de superficie ( no unidimensional líneas en el 3-espacio) el Círculo de Mohr es más instructivo.
La Fórmula de Euler y geodésico de la Torsión de la fórmula debe ser mencionado (tal vez enseñó a) propiedades de un componente de una sola superficie física de la línea así como tenemos el sentido matemático de la recta y mixtos derivados juntos.
El estrés,la tensión, la curvatura, el momento de inercia son, de hecho, tensores , uno es la dirección de referencia y otro para la fuerza aplicada.
Si $ k_1$ y $k_2$ son los principales curvatura en cualquier punto y el ángulo de TMA = $ 2 \psi$,
Curvatura Normal $ k_n = k_1 \cos^2 \psi + k_2 \sin^2 \psi$ y Geodésica de Torsión $ \tau_g = (k_1-k_2)\sin\psi \cos\psi $
La primera es la Fórmula de Euler en la superficie de la teoría que debe ser seguido por geodésica de torsión en su mención.
EDIT: se Refiere a la geometría y rigidez en el diseño estructural.
Banda de Moebius es un ejemplo de torsión de efectos mixtos derivados.( no orientability no es el punto aquí.)
Las superficies regladas necesariamente negativo de la curvatura de Gauss como consecuencia de tales tergiversaciones.
Puente de Tacoma Narrows desastre: los Ingenieros Estructurales han sido y aún ahora siguen haciendo caso omiso de la importancia de la mezcla de derivados en el diseño.
- En los materiales compuestos laminados diseño de uno de los lugares refuerzos en 45 grados también, para impartir la rigidez después de la restauración a las principales $ z_{xx}$ curvatura.
Stefano
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Ok, esto es muy crudo y definitivamente no una prueba. Quería publicar un comentario pero no tengo la reputación.
Si usted piensa de $f_x$ como "dar un paso" en la dirección de aumentar $x$ y viendo la cantidad de $f$ ha cambiado, usted podría pensar de $f_{xy}$ como tomar un paso en la $x$ dirección de la primera y en la $y$ la dirección siguiente, y de $f_{yx}$ como tomar los mismos pasos en orden inverso.
La insatisfactoria parte es que $f_{xx}$ y $f_{yy}$ son difíciles de interpretar como "dar dos pasos" en la $x$ o $y$ las direcciones, pero, posiblemente, una definición satisfactoria de "paso" puede ser conjurado.
Jesse Jackson
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Ejemplo de una función regular (gráfico en azul) y la imagen de un cuadrado (en rojo) para diferentes longitudes (ver Rahul la respuesta):
La misma foto sin la gráfica de $f$: al contrario de los segmentos de convertirse en paralelo cuando el paso disminuye. Esta es una interpretación geométrica del teorema de Schwarz.
