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Dirigido colimit en una concreta categoría

Recientemente me encontré en un lugar que nunca hubiera creído que yo voy a llegar (o al menos no que pronto en mi carrera). Me encontré con un problema que parece ser la mejor contestada a través de categorías.

La situación es esta, tengo un dirigidos sistema de estructuras y los mapas son todos la inclusión del mapa, que es $X_i$ $i\in I$ donde $(I,\leq)$ es dirigido; y si $i\leq j$ $X_i$ es una subestructura de $X_j$.

Supongamos que la directa límite de que el sistema existe. Puedo estar seguro de que esta directos límite es en realidad la unión? Es decir, ¿qué tipo de categorías asegurar esto, y qué posibles contraejemplos hay?

Pregunté a varias personas de todo el departamento en la actualidad, algunos me aseguró que este es el caso de categorías concretas, mientras que otros me aseguró que un contraejemplo puede encontrar (aunque no será orgánica, y probablemente sería fabricado para este caso).

La situación es tal que el sistema directo es originario de forzar, por lo que es muy... amplio y probablemente inmune a algunos de los "pensable" contraejemplos (por argumentos de [set teórico] genericity desde uno u otro ángulo), por lo que cualquier contraejemplo, que es esencialmente un linealmente ordenado sistema no va a ser útil como un contraejemplo.

Otro típico contraejemplo que es irrelevante aquí es finitely generado por las cosas, por ejemplo podemos tomar un sistema directo de f.g. espacios vectoriales cuyo límite no es f.g. pero este aspecto también es irrelevante para mí; aunque no estoy seguro de cómo describir con precisión este tipo de irrelevancia.

El último punto (el que vino con cada persona que he discutido esta cuestión en la actualidad), si tenemos en cuenta: $$\mathbb R\hookrightarrow\mathbb R^2\hookrightarrow\ldots$$ A continuación, consideramos aquellos que en realidad el aumento de conjuntos en la inclusión y no "natural identificaciones", como comúnmente se hace en categorías. Por lo que el límite de la anterior en realidad iba a ser $\mathbb R^{<\omega}$ (todas las secuencias finitas de $\mathbb R$).

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Matt Dawdy Puntos 5479

No entiendo si en realidad tienes un contraejemplo o no así que permítanme suministro de uno en aras de la exhaustividad. Considerar la categoría de $\text{CHaus}$ compacto de Hausdorff espacios. Puedo escribir un filtrado colimit finito de conjuntos de $\{ 1 \} \to \{ 1, 2 \} \to \{ 1, 2, 3, ... \}$ cuya unión es $\mathbb{N}$. El filtrado colimit debe ser compacto Hausdorff, así que en realidad es la Piedra Čech compactification $\beta \mathbb{N}$, que es mucho más grande que el de la unión.

En general colimits en $\text{CHaus}$ se obtienen al tomar primero el colimit en $\text{Top}$ y, a continuación, tomar la Piedra–Čech compactification. Los límites son como en $\text{Top}$ debido a que el olvidadizo functor a $\text{Top}$ tiene un adjunto a la izquierda, es decir, la Piedra–Čech compactification! Por otro lado, los límites y la colimits en $\text{Top}$ subyacentes establece la espera cosa, porque el olvido functor a $\text{Set}$ tiene una izquierda y una derecha adjunto, por lo que conserva los límites y colimits.

Si sólo se desea identificar las condiciones suficientes, el olvidadizo functor tener un derecho adjoint implica la preservación de colimits implica la preservación de filtrado colimits así que parece una buena cosa para probar. (Tenga en cuenta que esto no es generalmente lo que significa ser capaces de construir un libre de objetos; esto es generalmente una izquierda adjunto para los desmemoriados functor.) Por otro lado, esto está lejos de ser necesarias; el olvido functor $\text{Ab} \to \text{Set}$ está lejos de preservar colimits pero conserva filtrada colimits (estoy casi seguro).

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Su pregunta esencialmente cantidades a la pregunta, "cuando se hace el olvidadizo functor $U : \mathcal{C} \to \textbf{Set}$ crear dirigida colimits?" Más generalmente, se puede sustituir ", dirigida colimit" por "filtrado colimit". No hay, hasta donde yo sé, no hay una respuesta general.

Aquí está una a un general de la clase de categorías $\mathcal{C}$ para las que no es tan olvidadizo functor. Vamos a considerar un finitary teoría algebraica $\mathfrak{T}$, es decir, un clasificado de primer orden de la teoría con un conjunto de operaciones de finito arity y cuyos axiomas forma un conjunto de universalmente cuantificado ecuaciones. Por ejemplo, $\mathfrak{T}$ podría ser la teoría de los grupos, o la teoría de la $R$-módulos para cualquier fija $R$-módulo. Entonces, la categoría de $\mathcal{C}$ de los modelos de $\mathfrak{T}$ va a ser una categoría en la que se filtra colimits son, a grandes rasgos, obtenida por la toma de la unión de los conjuntos subyacentes. Esto puede ser demostrado "a mano", mostrando que la obvia la construcción de los universales de la propiedad: la clave lema es filtrada colimits conmuta con límites finitos en $\textbf{Set}$ – así, por ejemplo, $\varinjlim_{\mathcal{J}} X \times \varinjlim_{\mathcal{J}} Y \cong \varinjlim_{\mathcal{J}} X \times Y$ si $\mathcal{J}$ es un filtrado de la categoría. Mac Lane hechizos de los detalles en [CWM, Ch. IX, §3, Thm 1].


Anexos. Fijar una ordenados de primer orden de firma $\Sigma$. Considerar la dirigida colimit de la base de conjuntos de algunas $\Sigma$-estructuras: observe que el colimit hereda un $\Sigma$-estructura de la si y sólo si las operaciones y de los predicados de $\Sigma$ son todos finitary. Qiaochu del contraejemplo a $\{ 0 \} \subset \{ 0, 1 \} \subset \{ 0, 1, 2 \} \subset \cdots$ pueden ser puestos en servicio.

Así que supongamos $\Sigma$ sólo ha finitary de las operaciones y de los predicados. El problema ahora es establecer un análogo de la Łoś del teorema dirigida colimits. Deje $\mathcal{J}$ ser dirigido conjunto y deje $X : \mathcal{J} \to \Sigma \text{-Str}$ ser dirigido de sistema de $\Sigma$-estructuras. Digamos que es una fórmula lógica $\phi$ es "bueno" sólo si $X_j \vDash \phi$ todos los $X_j$ implica $\varinjlim X \vDash \phi$ (donde $\varinjlim X$ se calcula en $\textbf{Set}$, y dada la inducida $\Sigma$-estructura).

  1. No es difícil comprobar que universalmente cuantificado ecuaciones y atómica predicados son buenas fórmulas.

  2. El conjunto de buenas fórmulas es cerrado bajo la conjunción y la disyunción.

  3. El conjunto de buenas fórmulas es cerrado bajo cuantificación universal.

  4. El conjunto de buenas fórmulas es no cerrado bajo cuantificación existencial: la fórmula $\forall x . \, x \le m$ (con la variable $m$) es una buena fórmula en la firma de posets, sino $\exists m . \, \forall x . \, x \le m$ es claramente no se conservan de forma directa límites.

  5. Sin embargo, un cuantificador libre de buena fórmula es una buena fórmula, cuando el prefijo con cualquier número de cuantificadores existenciales.

  6. En particular, el conjunto de buenas fórmulas es no cerrado en virtud de la negación: la propiedad de ser no acotada anterior puede ser expresado como una buena fórmula en la firma de posets con la desigualdad, pero su negación es la propiedad de ser delimitada anteriormente.

La sección 6.5 de [Hodges, el Modelo de la teoría de] parece tener algo de material relevante, pero yo no lo he leído todavía. El punto, supongo, es que hay algunos bastante fuertes condiciones que la teoría en cuestión debe satisfacer antes de la dirigida colimit en $\textbf{Set}$ es aún un modelo de la teoría, y mucho menos ser dirigido colimit en la categoría de modelos de la teoría.

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