¿Cuál es el límite superior y el límite inferior?

Question

He mirado en el artículo de la Wikipedia, pero me parece un galimatías. La única cosa que era capaz de recoger de que éste fue el concepto de infimum (mayor límite inferior) y supremum (menos de límite superior), como yo los había aprendido previamente en una introducción a la matemática discreta curso.

El límite inferior de una secuencia de ($x_n$) está definido por la

$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big)$

o

$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

Del mismo modo, el límite superior de ($x_n$) está definido por la

$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big)$

o

$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}x_n := \inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

¿Alguien puede proporcionar cualquiera de los ejemplos de su uso, y por qué se usa en ese contexto?

Answer 1

He encontrado que algunos estudiantes tienen dificultad en la comprensión de las definiciones usuales de límite superior e inferior, debido a que estas definiciones se combinan las nociones de límites, de la suprema, y de infima, todas de las cuales el estudiante ha aprendido sólo recientemente y no totalmente interiorizado. Para este tipo de estudiantes, me gustaría dar las siguientes definiciones alternativas, equivalente a los de siempre pero que no contengan las palabras "límite", "supremum", y "infimum". (Tampoco hay valores absolutos o visibles $\varepsilon$'s.)

Un número $t$ es el límite superior de una secuencia $\langle a_n\rangle$ si las dos condiciones siguientes se cumplen:

• Para cada $s<t$ tenemos $s<a_n$ para infinidad de $n$'s.

• Para cada $s>t$ tenemos $s<a_n$ por sólo un número finito de $n$'s (posiblemente ninguno).

Del mismo modo, un número $t$ es el límite inferior de una secuencia $\langle a_n\rangle$ si las dos condiciones siguientes se cumplen:

• Para cada $s>t$ tenemos $s>a_n$ para infinidad de $n$'s.

• Para cada $s<t$ tenemos $s>a_n$ por sólo un número finito de $n$'s (posiblemente ninguno).

Dos observaciones adicionales pueden ser útiles:

1. La definición de lim inf es obtenido a partir de la definición de lim sup simplemente revertir todas las desigualdades.

2. Las definiciones pueden ser fácilmente extendido a $\pm\infty$ en lugar de números de $t$. Acaba de adoptar la convención de que, incluso entonces, $s$ se refiere a los números reales, todo lo cual se $>-\infty$$<+\infty$.

Answer 2

Un papel muy destacado de la aplicación de la $\limsup$ es la de Cauchy-Hadamard fórmula para el radio de convergencia: De poder de la serie de $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$, su radio f convergencia $R$ puede ser obtenido a partir de $$\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$ Sin entrar en detalles de por qué eso es así, vamos a preguntar:

• ¿Por qué no la $\lim$? Porque es posible que ni siquiera existen (por ejemplo, si $a_n=1+(-1)^n$).

• ¿Por qué no la $\sup$? Debido a que un gran $|a_n|$, a continuación, echar a perder el valor, mientras que un solo sumando $a_nx^n$ no influye en la convergencia.

Sin embargo, si $L:=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ pasa a existir, vemos que el poder de la serie está dominado por $\sum |L' x|^n$ cualquier $L'>L$, y esto converge (a $\frac1{1-|L'x|}$) proporcionado $|L'x|<1$, y mediante una adecuada selección de $L'$ podemos obtener la convergencia siempre $|Lx|<1$. Pero si el límite no existe, se debe utilizar la $\limsup$, por lo que tenemos una sub-secuencia convergente a cierta $L$ y puede elegir la larga tan grande que todos los otros términos de $\sqrt[n]{|a_n|}$ son de menos de $L$. Estas pequeñas términos no lastimen a la convergencia si $|xL|<1$. Y, sin embargo, desde nuestra larga tiene un número infinito de términos, esto es suficiente para estropear la convergencia al $|xL|>1$.

Answer 3

Las siguientes son respuestas de la mina que el uso de $\liminf$ $\limsup$ [1] [2] [3] [4]

Tal vez te sea de ayuda.

DEF Dada una secuencia de números reales $\langle a_n\rangle$, podemos decir que el $\ell \in \Bbb R^*=\Bbb R\cup\{+\infty,-\infty\}$ es un punto límite de la secuencia, si existe una larga $\langle a_{n_k}\rangle$ $\langle a_n\rangle$ tal que $$\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=\ell $$

Ahora vamos a probar la

La PROPOSICIÓN de Fijar una secuencia de números reales $\langle a_n\rangle$, y definir $$\mathscr L=\{x\in\Bbb R^*:x\text{ is a limit point of }\langle a_n\rangle\}$$ A continuación, $\mathscr L$ es no vacío para cualquier elección de $\langle a_n\rangle$.

P Primero supongamos $\langle a_n\rangle$ está acotada. Por Bolzano, Weierstrass, existe una convergente subsequence $\langle a_{n_k}\rangle$ $\langle a_n\rangle$ tal que $\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\ell $ algunos $\ell\in\Bbb R$. Por lo tanto $\ell\in\mathscr L$. Ahora suponga $\langle a_n\rangle$ es ilimitado. Podemos asumir que es ilimitado desde arriba. Entonces, por definición, para cada una de las $k\in \Bbb N$ existe $n_k$ tal que $a_{n_k}\geq k$. De ello se desprende $\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=+\infty$, lo $+\infty\in\mathscr L$.

Asumir a partir de ahora la secuencia es acotada.

DEF Deje $\langle a_k\rangle$ ser una secuencia en $\Bbb R$. Definimos para cada una de las $n\in \Bbb N$ de los asociados a las secuencias de $$\overline{a_n}=\sup \langle a_k:k\geq n\rangle$$ $$\underline{a_n}=\inf \langle a_k:k\geq n\rangle$$ and subsequently the closed intervals $$A_n=\left[\underline{a_n},\overline{a_n}\right]$$

Observe que para cada $n$, $$A_{n+1}\subseteq A_n$$

DEF Por cada secuencia $\langle a_n\rangle$, definir la intersección $$\bigcap_{n\in \Bbb N}A_n=[\zeta,\eta]$$Esto es no vacío cortesía de Cantor la intersección del teorema.

Observar que $\zeta=\lim\limits_{n\to\infty} \underline{a_n}$ $\eta=\lim\limits_{n\to\infty} \overline{a_n}$ son sólo el $\limsup$$\liminf$$\langle a_n\rangle $.

Probar

$1.$ Si $\ell$ es un punto límite de $\langle a_n\rangle $,$\ell \in [\zeta,\eta]$. Que es $\mathscr L\subseteq [\zeta,\eta]$.

$2.$ $\eta,\zeta$ son el límite de puntos de $\langle a_n\rangle $, por lo tanto a la conclusión de que $\eta,\zeta$ es el más pequeño y el más grande de límite de puntos de $\langle a_n\rangle $. Por lo tanto $\zeta=\sup\mathscr L=\max \mathscr L\; ,\; \eta=\inf\mathscr L=\min \mathscr L$.

$3.$ Observa que si $\zeta=\eta$, el intervalo degenera a un solo punto de $p=\zeta=\eta$, lo que significa que el trivial subsequence $\langle a_n\rangle $ converge a $p=\zeta=\eta$. Por el contrario, si $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=p$, todas las subsecuencias convergen a $p$, por lo que el intervalo de $[\zeta,\eta]$ degenera el único punto de $p=\eta=\zeta$.

NOTA Si la secuencia es ilimitado desde arriba (resp. a continuación), a continuación, $$\limsup_{n\to\infty}a_n=+\infty\;\;\left( \liminf_{n\to\infty}a_n=-\infty\right)$$