Estoy tratando de evaluar la siguiente integral usando el método de contorno que no estoy siendo capaz de. Puede alguien señalar qué error estoy cometiendo? $$\int_0^\infty \frac{\sin ax}{e^x + 1}dx$$
Estoy pensando en el siguiente contorno. Y la función $\displaystyle f(z):= \frac{e^{iaz}}{e^z + 1}$
El polo de orden $1$ occours a impar, múltiplo de $i\pi$. Considerando por encima de contorno no hay ninguna singularidad. La integral puede dividirse en seis partes.
$$\int_0^R \frac{e^{iax}}{e^x + 1} dx + i \int_0^{2\pi} \frac{e^{ia(R + iy)}}{e^{R + iy} + 1} dy + \int_{R}^{0}\frac{e^{ia(x+2\pi i)}}{e^{x + 2 \pi i } + 1} dx + \\ i \int_{2 \pi }^{\pi + \epsilon} \frac{e^{ai( iy)}}{e^{ iy } + 1}dy + \int_\gamma \frac{e^{iaz}}{e^z + 1} dz + i \int_{ \pi -\epsilon}^{0} \frac{e^{ia( iy)}}{e^{ iy } + 1}dy$$
El primer y tercer da $\displaystyle (1 - e^{-2 a\pi})\int_0^R\frac{e^{iax}}{e^x + 1} dx$. Segundo va a $0$ $R \to \infty$
Para el quinto integral, $$\int_\gamma \frac{e^{iaz}}{e^z + 1} dz = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{e^{ia\pi + a\epsilon e^{i\theta}}}{e^{i\pi + \epsilon e^{i\theta}+1}}i \epsilon i e^{i\theta }d\theta \to 0 \text{ as } \epsilon \to 0$$
La parte real de la cuarta y la sexta integral no converge. Pero desde mi original de la integral es imaginario, es suficiente para tomar parte imaginaria. Como $\epsilon \to 0$, me sale $$i\int_{2\pi }^0 \Re \left [\frac{e^{-ay}}{e^{iy} + 1} \right] dy = i \int_{2\pi}^0 \frac{e^{-ay}}{2}dy = i \frac{e^{-2\pi a} - 1}{2a}$$
Finalmente, usando el teorema de los residuos, estoy consiguiendo que es incorrecto. $$(1 - e^{-2 a\pi})\int_0^\infty \Im \left [\frac{e^{iax}}{e^x + 1} \right ] dx +\frac{e^{-2\pi a} - 1}{2a} = 0$$
Puede alguien señalar mi error o dar trabajado solución?? Gracias de antemano!!
AGREGÓ:: He evaluado quinto integral incorrectamente $$\int_\gamma \frac{e^{iaz}}{e^z + 1} dz = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{e^{ia(i\pi + \epsilon e^{i\theta})}}{e^{i\pi + \epsilon e^{i\theta}}+1}i \epsilon e^{i\theta }d\theta = ie^{-a\pi}\int_{\pi/2}^{-\pi/2}\frac{e^{ia\epsilon e^{i\theta}}}{-e^{\epsilon e^{i\theta}} + 1} \epsilon e^{i\theta}d\theta = i \pi e^{-a\pi}$$ De modo que la suma total debe ser $$(1 - e^{-2 a\pi})\int_0^\infty \Im \left [\frac{e^{iax}}{e^x + 1} \right ] dx +\frac{e^{-2\pi a} - 1}{2a} +\pi e^{-a\pi}= 0 $$ Después de la manipulación ligera nos encontramos con que $$\int_0^\infty \frac{\sin ax}{e^x + 1}dx = -\frac{\pi}{2\sinh (\pi a)} +\frac{1}{2a}$$
