Debe $g$ ser la identidad de la si $f = g \circ f$?

Question

Me resulta difícil resolver el siguiente problema.
Deje $A$ es un conjunto y $f : A \rightarrow A$$g : A \rightarrow A$. Si $f = g \circ f$ debe $g$ ser una función identidad siempre?
Hay contraejemplos para mostrar que $g$ no debe ser una función identidad?

Answer 1

Tome $A=\{0,1,2\}$ $f$ es la función constante $0$ mientras $g(0)=0$$g(1)=g(2)=1$.

Vamos a encontrar exactamente por qué el anterior funciona, y deducir un buen corolario: $\newcommand{rng}{\operatorname{rng}}\newcommand{id}{\operatorname{id}}$

Teorema: Supongamos que $f,g\colon A\to A$ $f=g\circ f$ si y sólo si $g$ restringido a $\rng f$ es la identidad.

Prueba: Supongamos que $g$ es la identidad en $\rng f$ $x\in A$ tenemos $g(f(x))=f(x)$ desde $f(x)\in\rng f$.

En la otra dirección, supongamos que $f=g\circ f$, vamos a $y\in\rng f$ $y=f(x)$ algunos $x\in A$. Tenemos que $g(y)=g(f(x))=f(x)=y$, como quería. $\square$

Corolario: $f$ es surjective si y sólo si $g=\id_A$.

Prueba: Supongamos que $f$ es surjective y aplicar el teorema anterior con $\rng f=A$. En la otra dirección, supongamos que $f$ no es surjective, vamos a $x\in\rng f$$y\in A\setminus\rng f$. Definir $g$ como sigue: $$g(a)=\begin{cases} x &a=y\\ a &\text{otherwise.}\end{cases}$$ Por el teorema anterior tenemos que $g\circ f=f$ pero claramente $g\neq\id_A$.

Answer 2

Las proyecciones de darle un montón de contraejemplos con $f=g$. Por ejemplo, $f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$$f(x,y)=x$.