Ideales en un no-dominio de dedekind que no puede ser tomado en cuenta en producto de números primos

Question

Para un dominio $R$ a ser un dominio de Dedekind es necesario cumplir con 3 condiciones: unidimensional, Noetherian, integralmente cerrado.

Tengo tres dominios de la satisfacción de todos, pero uno de estos tres:

1) $\mathbb{C}[x,y]$: no unidimensional

2) Anillo de todos los enteros algebraicos: no Noetherian

3) $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$: no es integralmente cerrado

Sé que un equivalente de la definición de dominio de Dedekind es que todos los ideales de a que puede ser un factor en el producto de primer ideales.

¿Alguien puede mostrarme un ideal en 2) y 3) que no pueden ser tenidos en cuenta en los números primos?

Answer 1

3) El origen de la falla aquí: $\Bbb Z[\sqrt{D}]$ "falta" $\frac{1+\sqrt{D}}{2}$ ( ${\cal O}_{\Bbb Q(\sqrt{D})}$ ) si $D\equiv1~(4)$.

Observe $(2,1+\sqrt{D})=(2,1-\sqrt{D})$ porque $1+\sqrt{D}\equiv1-\sqrt{D}$ mod $2$. Por lo tanto

$$\begin{array}{ll} (2,1+\sqrt{D})^2 & =(2,1+\sqrt{D})(2,1-\sqrt{D}) \\ & =(4,2(1+\sqrt{D}),2(1-\sqrt{D}),1-D) \\ & =(2)(2,1+\sqrt{D}).\end{array}$$

La hipótesis de $D\equiv1~(4)$ se utiliza la simplificación $(4,1-D)=(4)$. Si $\Bbb Z[\sqrt{D}]$ fueron Dedekind nos podría cancelar y obtener un $(2,1+\sqrt{D})=(2)~\Rightarrow~2\mid(1+\sqrt{D})\Rightarrow \frac{1+\sqrt{D}}{2}\in\Bbb Z[\sqrt{D}]$, una contradicción.

Answer 2

Para (2), vamos a $A/\mathbb Q$ ser el anillo de todos los enteros algebraicos. El fracaso de la única factorización de los ideales de $A$ viene porque siempre se puede mantener el factoring cosas. Por ejemplo, $$ 2 A = (\sqrt{2})^2 = (\sqrt[4]{2})^4 = \cdots . $$ Ya no $\sqrt[2^n]{2}$ es una unidad, de esta forma se rompe la factorización de a (un número finito) primer ideales.