¿Se puede seguir la propiedad asociativa de un grupo a partir de sus otras propiedades?

Question

Supongamos que tenemos un grupo junto con elementos inversos para todos sus miembros del grupo, la propiedad de cierre y también la identidad. ¿Podemos deducir de estas propiedades que nuestro grupo también tiene que cumplir la asociatividad?

EDITAR: O para reformular mi pregunta: Si puedo establecer una tabla de multiplicar arbitraria, completa y cerrada, de modo que en cada una de sus filas y columnas cada elemento del "grupo" aparezca una y sólo una vez, ¿me define esto un grupo automáticamente? Esto me desconcierta mucho..

Answer 1

No. Deja que $A=\left\{0,1,2\right\}$ con la operación $+:A\times A\rightarrow A$ dado por $0+0=0$ , $0+1=1$ , $0+2=2$ , $1+0=1$ , $1+1=0$ , $1+2=1$ , $2+0=2$ , $2+1=2$ , $2+2=0$ . Entonces $0$ es la identidad (bilateral), la inversa (bilateral) de $x$ es $x$ pero $$(1+2)+1=1+1=0\quad\text{and}\quad 1+(2+1)=1+2=1$$ por lo que $(A,+)$ no es asociativo.

Answer 2

Hay muchos bucles que no son grupos, por ejemplo la estructura multiplicativa de un álgebra no asociativa como los octoniones $\mathbb{O}$ o cualquier álgebra de Lie interesante.