Homeomorphism entre el Espacio y el Producto

Question

¿Existen ejemplos de no-vacío, espacios infinitos X no está equipado con la topología discreta para con $X \cong X \times X$?

Answer 1

Ejemplos elementales son a menudo cero-dimensional: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{P}$ (= el irrationals como un subconjunto de a $\mathbb{R}$) y el conjunto de Cantor $C \subset [0,1]$ todos son homeomórficos a sus plazas (por lo que incluso cada poder finito de sí mismo; incluso contables de poder, para que los irrationals y $C$.). Un ejemplo trivial es un espacio infinito en la topología indiscreta.

Muchos de dimensiones infinitas espacios, también obedecer a esto: $R^\omega$ en la topología producto, o de cualquier poder superior, o el espacio de Hilbert $\ell_2$ (no muy diferente, como $R^\omega$ es homeomórficos (como espacios topológicos) a $\ell_2$).

Una agradable espacio tridimensional debido a Erdős: tomar todos los puntos de $\ell_2$ donde todas las coordenadas son racionales. Erdős mostró este espacio es unidimensional y es muy claramente homeomórficos a su plaza: el par y el impar coordenadas formulario de copias de el mismo espacio.

Answer 2

Tomemos, por ejemplo, $X=\cup_{n\ge1}\mathbb R^n$ con la topología definida por $U\subset X$ es abierto si y sólo si $U\cap\mathbb R^n $ está abierto para todos los $n$. A continuación, es fácil comprobar que el mapa de $\phi:X\times X\to X$ definido por $\phi((x_i),(y_i))=(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,\dots)$ es un homeomorphism aquí un elemento de $X$ está representado por $(x_i)$ donde $(x_i)$ es una secuencia de números reales, que es distinto de cero sólo para un número finito de $i's$. (también se $X=\Pi_{n\ge1}\mathbb R$ con el producto de la topología también podría trabajar con el mismo mapa se define como el anterior)

Para otro ejemplo, tenemos un teorema en el análisis funcional que dice que cada separables infinito dimensional espacio de Hilbert es isomorfo a $l_2$. Desde $l_2\times l_2$ es un espacio de Hilbert separable por lo tanto, por el teorema sería isomorfo a $l_2$ (en particular, sería homemorphic)