Para el juego de pelota en $\mathbb{R^n}$ es fácil. Usted puede cubrir toda la bola con un mapa(por ejemplo, mapa de identidad :D) Y escribir la ecuación de $\Delta w =0$ en las coordenadas. Esto sólo va a alterar el operador de Laplace un poco y terminas solución de la ecuación en la forma
$$
\nabla \cdot (\,\nabla w) = 0
$$
Donde
$$
A_{ij} = \sqrt{|g|} g^{ij}
$$
ver la página de la wiki de Laplace-Beltrami operador.
Así que usted tiene de serie de Dirichlet problema en $\mathbb{R^n}$, por lo tanto, la existencia y unicidad está garantizada. Si desea referencia que, por ejemplo, consultar Evans libro sobre la PDE.
En cualquier compacto manifold con frontera. Creo que el resultado debe ser el mismo, en la prueba de la existencia en la $\mathbb{R^n}$ no utiliza las propiedades globales de $\mathbb{R^n}$. Creo Que debe ser razonablemente fácil alterar la existencia de prueba de $\mathbb{R^n}$ a cualquier compacto manifold con frontera, pero un poco tedioso porque hay que desarrollar la teoría de los espacios de Sobolev en que el colector.
En compacto colector sin límite. Aquí respondo a una pregunta que no se ha pedido, pero me parece interesante.
¿Qué acerca de la ecuación
$$
\Delta w = g
$$
Aquí tenemos que tener cuidado. Condición necesaria de la existencia es $\int g = 0$. Esto puede ser visto desde un poco de intuición física. Esta ecuación puede ser considerado como la solución estacionaria de la ecuación del calor
$$
\partial_t w - \Delta w = g
$$
En situación estacionaria tiene que haber equilibrio entre la energía de entrada y de salida. Sin límite el no puede ser cualquier flujo de energía a través de él, por lo tanto, la condición necesaria para $\int g = 0$. Aunque no sé si es condición suficiente para la existencia.
Pero es probablemente muy similar a la puramente Neumann problema, donde la condición de $\int g=0$ es suficiente.
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Creo que esto debería ser cierto si $M$ es compacto, con exactamente la misma prueba variacional que se tiene sobre dominios acotados en $\mathbb{R^n}$ . (Puedes intentar buscar en el libro de Gilbarg-Trudinger sobre EDP elípticas).
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Y no es cierto (para la unicidad) si $M$ no es compacto. Se necesita un supuesto "acotado" de las funciones (que el problema de Dirichlet suele suponer). Tomemos $f=0$ y soluciones $w_1=e^x\sin y$ y $w_2=0$ en el semiespacio $\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; y\ge0\rbrace$ . La función analítica de fondo es $e^z$ .