Una integral relacionados con la Riemann $\zeta$ función

Question

Tengo que demostrar que: $$ \forall s>1,\qquad\int_0^\infty \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k^s+1)^x+k^s}dx=\zeta(s). $$

Me ¿cómo puedo encontrar la forma cerrada para esta suma?

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k^s+1)^x+k^s} $$

Answer 1

La inversa de la suma y la integral y demostrar que

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{a^x+b} = \frac{\log{(1+b)}}{b \log{a}} $$

Tenga en cuenta que$a=1+k^s$$b=k^s$. Los registros de cancelar y que es justo a la izquierda con la suma de más de $k^{-s}$, que es el indicado resultado.

Answer 2

Sólo para completar Ron Gordon excelente respuesta, observe que: $$ I(a,b)=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{e^{x\log a}+b} = \frac{1}{\log a}\int_{0}^{+\infty}\frac{dz}{e^z+b}=\frac{1}{\log a}\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t(t+b)}$$ y: $$ \int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t(t+b)}=\int_{0}^{1}\frac{du}{1+bu}=\frac{1}{b}\int_{0}^{b}\frac{dv}{1+v}=\frac{\log(1+b)}{b}$$ a través de las sustituciones $x=\frac{z}{\log a}$, $z=\log t$, $t=\frac{1}{u}$ y $u=\frac{v}{b}$. Que conduce a: $$\int_{0}^{+\infty}\sum_{k\geq 1}\frac{dx}{(k^s+1)^x+k^s}=\sum_{k\geq 1}\frac{\log(1+k^s)}{k^s \log(1+k^s)} = \zeta(s)$$ como quería.