¿Por qué la orden más baja de las matrices en la ecuación de Dirac son matrices de 4x4?

Question

¿Por qué la orden más baja de las matrices en la ecuación de Dirac (Relativista Quantums) son matrices de 4x4 (y no puede ser matrices 2x2)?

Cómo demostrarlo?

Answer 1

El espacio de estado de un spin-$1/2$ de las partículas es la de dos dimensiones complejo espacio de Hilbert $\mathbb{C}^2$. Cualquier Hamiltonianos que actúa en este espacio de estado es necesariamente un $2\times 2$ matriz. El álgebra de las características observables en el espacio de estado de un spin-$1/2$ de las partículas es generado por el aumento y la reducción de los operadores (así como el $2\times 2$ matriz de identidad), que a su vez son generados por los operadores de Pauli.

Ahora, el $\gamma$ matrices de la ecuación de Dirac puede ser escrito en términos de los bloques de la diagonal de las matrices con los bloques de que consta de los operadores de Pauli. Vea aquí algunos detalles. Esto luego de cuentas por dos hechos de manera simultánea: (1) El orden es necesariamente uniforme. (2) El orden más bajo es $4$.

Answer 2

No es una prueba, pero al menos algo de sabor.

Para un $3$ dimensiones del espacio (no hay tiempo), una representación de la $3$ gamma matrices $\gamma^i$ ($i =1,2,3$) son simplemente las $2*2$ matrices de Pauli $ \sigma^i$ verificar : {$\gamma^i, \gamma^i$} $= 2 \delta_{ij}$. Así, por un espacio con $3$ dimensiones espaciales, $2*2$ representación de la gamma de matrices es posible.

Ahora, por un $3+1$ de espacio-tiempo, uno podría pensar en añadir una $4th$ $2*2$ gamma matrice $\gamma^0$, que debe verificar el $(\gamma^0)^2=-2 ~\mathbb Id$ y {$\gamma^0, \gamma^i$} $= 0$.

Escrito explícitamente estas ecuaciones para el $4$ componentes de $\gamma^0$, y usted encontrará que $\gamma^0=0$, por lo que es un sabor que no hay suficiente lugar en $2*2$ matrices, la representación de la gamma matrices en $(3+1)$ dimensiones.