Definir una secuencia $a_1 = 1, a_2 = 1/2$, e $a_{n+2} = a_{n+1} - a_na_{n+1}/2$ $n$ un entero positivo.

Question

Definir una secuencia $a_1 = 1, a_2 = 1/2$, y $$a_{n+2} = a_{n+1} - a_na_{n+1}/2$$ for $n$ a positive integer. Find $$\lim_{n\to\infty}na_n$$ si es que existe.

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Así, podemos deducir que $\lim a_n=0$ comprobando $(a_n)$ es decreciente y acotada. Pero la búsqueda de $\lim na_n$ es otra historia.

Answer 1

$\lim a_n = 0$ $a_n$ disminución $\Longrightarrow b_n=\frac{1}{a_n}$ creciente y no acotada. Para el Cesàro-Stolz Teorema, si $\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)-n}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}}=L$ (*), por lo $\lim \dfrac{n}{\frac{1}{a_{n}}}=L$. Así, tenemos a la prueba (*).

Observe que $\lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)-n}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}}=\lim 2 \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}$. Pero $\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1 \Rightarrow \lim \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=1$ porque $\lim a_n =0$. Por eso, $L=2$.