He aquí una auto-contenida (esperemos claro) derivación.
Paso 1. La configuración y definición de diferencial de dispersión de la sección transversal
Deje $\mathcal L$ denotar el incidente de la luminosidad (número de partículas incidentes por unidad de área, por unidad de tiempo) de un haz se dispersa. Supongamos que tenemos un esférico detector de borde infinito con el que medir partículas dispersadas, y asumimos que el detector del centro está en la posición de destino. Suponemos además que la dirección de desplazamiento de la viga a lo largo de la positiva $z$-eje, de manera que podemos medir la posición del esférico detectores por el estándar de coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $\phi$ es el ángulo azimutal. Finalmente, se asume que el sistema se cilíndrica simétricas respecto a la $z$-eje, y dejamos $\eta(\theta)$ denotar el número de partículas por unidad de ángulo sólido, por unidad de tiempo golpeando el detector en la posición angular $\theta$. Entonces, como usted ha dicho, el diferencial de dispersión de la sección transversal, que va a denotar por $D(\theta)$ se define como
$$
D(\theta) = \frac{\eta(\theta)}{\mathcal L}
$$
Paso 2. La comprensión de la función $b(\theta)$
Ahora, suponemos que no es una función derivable $b(\theta)$ definido en $[0,\pi]$ de manera tal que si una partícula dispersa a través de un ángulo de $\theta$ $b(\theta)$ da el parámetro de impacto en la que se incide sobre el objetivo. Puesto que no hay dos partículas incidente en el mismo parámetro de impacto pueden tener diferentes ángulos de dispersión, la función de $b$ tiene la propiedad de que para todos los $\theta_1, \theta_2\in[0,\pi]$,
$$
\text{Si}\quad b(\theta_1) = b(\theta_2)\quad \text{entonces} \quad\theta_1=\theta_2
$$
En otras palabras, $b$ es un uno-a-uno de la función de $\theta$. Esto significa, en particular, que, dado cualquier ángulos $\theta_1<\theta_2$, si la partícula está dispersa en algunos ángulo de $\theta$$\theta_1$$\theta_2$, entonces debe de haber tenido el parámetro de impacto $b(\theta)$$b(\theta_1) $$b(\theta_2)$.
Paso 3. La derivación de la expresión standard de la sección transversal
Con esto en mente, consideramos que algunas pequeñas rango de los ángulos de dispersión entre el$\theta$$\theta+\Delta\theta$. A partir de nuestra observación anterior, observamos que las partículas dispersas en este rango debe haber tenido impacto en los parámetros entre los $b(\theta)$$b(\theta+\Delta\theta)$. Por otro lado, el número de partículas por unidad de tiempo de la dispersión a través de este rango de parámetros de impacto es
$$
\Delta \nu = 2\pi b(\theta)|b(\theta+\Delta\theta) - b(\theta)|\cdot \mathcal L +\mathcal O(\Delta\theta^2)
$$
Esto viene a partir de sólo imaginar la sección transversal de la viga y observando que el área del anillo de parámetros de impacto entre el $b(\theta)$ $b(\theta + \Delta\theta)$ (a primer orden en $\Delta\theta$), es simplemente la expresión de arriba que es la multiplicación de la luminosidad. Para ver esto, recordemos que el área de un anillo entre dos círculos de radios $r$ $r+\Delta r$ es
\begin{align}
|\pi(r+\Delta r)^2 - \pi r^2|
&= 2\pi r|\Delta r| + \mathcal O(\Delta r^2)
\end{align}
El valor absoluto es necesario debido a que el área debe ser positiva, mientras que es posible que $\Delta r$ es negativo. Ahora acaba de establecer $r = b(\theta)$$\Delta r = b(\theta + \Delta\theta) - b(\theta) =b'(\theta)\Delta\theta + \mathcal O(\Delta\theta^2)$.
Por otro lado, sabemos que todas estas partículas serán esparcidas en el ángulo sólido subtendido por la polar ángulos $\theta$$\theta + \Delta\theta$, que está dada por
$$
\Delta\Omega = \int_0^{2\pi}d\phi \int_\theta^{\theta+\Delta\theta}d\theta\sin\theta
= 2\pi\sin\theta\Delta\theta + \mathcal O(\Delta\theta^2)
$$
La combinación de estos resultados, vemos que el número de partículas por unidad de ángulo sólido, por unidad de tiempo golpeando el detector en el rango de los ángulos entre $\theta$ $\theta +\Delta\theta$ es
$$
\frac{\Delta\nu}{\Delta\Omega} = \frac{b(\theta)}{\sin\theta}\frac{|b(\theta+\Delta\theta) - b(\theta)|}{\Delta\theta}\cdot \mathcal L + \mathcal O(\Delta\theta)
$$
El $\Delta\theta\to 0$ límite de este da el número de partículas por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido disperso en el ángulo de $\theta$, que es precisamente lo que se llama $\eta(\theta)$. En este límite, el $\mathcal O(\Delta\theta)$ plazo se desvanece, y la segunda fracción se convierte en el valor absoluto de la derivada de $b$, por lo que tenemos
$$
\eta(\theta) = \frac{b(\theta)}{\sin\theta}\left|b'(\theta)\right|\cdot \mathcal L
$$
donde aquí puedo usar un primer para la diferenciación. Sigue luego, dividiendo por $\mathcal L$, que el diferencial de dispersión de la sección transversal es, precisamente, el estándar de expresión;
$$
\boxed{D(\theta) = \frac{b(\theta)}{\sin\theta}\left|b'(\theta)\right|}
$$
