El Hopfian propiedad para grupos

Question

Deje $G$ ser un grupo, que para mis propósitos sería abelian. Decir que $G$ tiene de Hopf de la propiedad, es decir que cada epimorphism de $G$ es un automorphism. ¿Alguien suceder a recordar el contexto en el que Hopf primera vez que utiliza este concepto, y una referencia para esto?

Answer 1

"H. Hopf, en 1932, se planteó la cuestión de si un finitely generado grupo puede ser isomorfo a un adecuado factor de sí mismo. Este fue contestada en forma afirmativa: por B. H. Neumann, de 1950, con un grupo generador con infinidad de definición de relatores; por G. Higman, 1951c, con un tres-grupo generador con dos que define las relaciones; y por Baumslag y Solitar de 1962, con un dos-generador de un grupo con una definición de relator...Un grupo que no puede ser isomorfo a un adecuado factor de sí mismo se llama Hopfian."

-"Combinatoria, Teoría de grupos", Magnus, Karrass y Solitar (sec. 2.4)

Los dos-generador de un relator de grupo dada por Baumslag y Solitar es el imaginativo nombre de Baumslag-Solitar grupo $BS(2, 3)=\langle a, b; b^{-1}a^2b=a^3\rangle$.

Answer 2

Tengo acceso a la primera página de el papel de Hopf, pero no más. Tal vez va a proporcionar el contexto suficiente.

Aquí está el primer párrafo:

Die Aufgabe, morir Klassen der Abbildungen der geschlossenen orientierbaren Fläche $F_p$ vom Geschlecht $p$ auf die geschlossene orientierbare Fläche $F_q$ vom Geschlecht $q$ aufzuzählen, scheint mir sowohl wegen des Zusammenhanges mit funktionentheoretischen Fragen, - da über eine einer Riemannschen Fläche des Geschlechtes $q$ ausgebreitete Riemannsche Fläche des Geschlechtes $p$ eine derartige Abbildung definiert - als auch vom suelta topologischen Standpunkt aus großen Interesses wert zu sein. Gelöst ist sie nur für spezielle $p$, $q$. Sieht hombre von diesen Sonderfällen, auf die wir sogleich zurückkommen werden, ab, así ista, wie man ligero zeigt, morir gewünschte Aufzählung identisch mit der Angabe aller Homomorphismen der Fundamentalgruppe $\mathfrak{G}_p$ von $F_p$ en morir Fundamentalgrupper $\mathfrak{G}_q$ von $F_q$; aber dieses gruppentheoretische Problema dürfte kaum leichter zu erledigen sein als das ursprüngliche geometrische.

Ahora, se ejecuta a través de Google da algo un poco tonto, pero la lectura "entre líneas", se parece a algo como esto:

La tarea de enumerar los mapas de un cerrado orientable superficie $F_p$ de género $p$ al cierre superficie orientable $F_q$ de género $q$, me parece muy interesante, debido a la conexión con la función de cuestiones teórico - debido a una superficie de Riemann de género p que se ha extendido a partir de una superficie de Riemann de género q define un mapa - y también desde una perspectiva puramente topológico punto de vista. Se resuelve sólo para el especial de $p$$q$. Aparte de estos casos especiales, a la que volveremos, la lista deseada es equivalente a especificar todos los homomorphisms de el grupo fundamental de la $\mathfrak{G}_p$ $F_p$ para el grupo fundamental de la $\mathfrak{G}_q$$F_q$; pero este grupo-el problema teórico es poco probable que sea más fácil de manejar que el original geométricas.

Tal vez alguien con reales de habla alemana habilidades puede corregir la traducción. Estoy haciendo esta respuesta un wiki de la Comunidad, por lo que se debe bajar la barra de edición (siéntase libre de hacerlo!).

Answer 3

De acuerdo a la Enciclopedia de las Matemáticas, el término se deriva de Heinz Hopf de la pregunta (en 1932) de si existen finitely generado no Hopfian grupos.