La separación de los números primos con $n$ en intervalos de longitud fija .

Question

Esta pregunta ( que demuestra $n \ge 25$, $p_n > 3.75n$ donde $p_n$ $n$th prime. ) me llevó a pedir la siguiente .

Tome $n>2$ un entero positivo . Deje $a_1,a_2,\ldots,a_{\phi(n)}$ ser todos los números menos de $n$ y coprime con $n$ . También denotar $x=\frac{n}{\phi(n)}$ . Entonces para que $n$ ,los números de $a_1,a_2,\ldots,a_{\phi(n)}$ va a estar separados unos de otros por los múltiplos de $x$ : $$0<a_1<x<a_2<2x<\ldots <a_{\phi(n)-1}<x(\phi(n)-1)<a_{\phi(n)}<x\phi(n)=n$$

Todo lo que sé es que (milagrosamente) $n=30$ obras .

Esto me parece una pregunta muy interesante . Gracias por todos los que me puedan ayudar con este problema .

Answer 1

Pregunta interesante.

Esta propiedad es sorprendentemente común. Yo era capaz de volver a trabajar sobre un guión que había escrito anteriormente y corrió a través de los números de $n = 2\ldots10000$ y más del 25% de ellos satisfacen esta propiedad $(2764 / 10000)$. En la primera $1000$, casi la mitad de ellos satisfacer $(465 / 1000)$.

Curiosamente, tanto en $1000$ $10000$ satisfacen esta propiedad.

El primer grupo de valores que no satisfacen son: $21, 33, 35, 39, 42, 51, 55, 57, 63, 65, 66, 69, 70$

Temprano a mí me parece que esta separación de la propiedad que se rompe para el compuesto de números relativamente grandes diferencias entre sus factores primos, que hace algún tipo de sentido.

Tengo un archivo de texto con estos resultados, si quieres verlos, aunque no estoy seguro de cuál es la mejor manera de compartir con ellos.

Tengo la sensación de que hay un grupo de teóricos-la razón de estos resultados, pero voy a tener que pensarlo un poco más. Te dejaré saber si descubro algo más.