El siguiente argumento es de mi libro de texto, Introducción a la física térmica por Daniel Schroeder. Si estás familiarizado con la derivación de la Ley de Stefan a partir de la densidad de energía de un gas de fotones, puedes desplazarte hasta la parte inferior donde expongo mi pregunta.
Estoy buscando una explicación más sencilla para el resultado de la siguiente derivación.
Utilizando la estadística de Bose-Einstein, hemos deducido que la densidad de energía de un gas de fotones es $$\frac{U}{V} = \frac{8\pi^5}{15} \frac{(kT)^4}{(hc)^3}$$ Ahora queremos entender cómo se emiten los fotones desde un cuerpo negro idealizado.
Consideremos una caja llena de un gas de fotones con un agujero de área $A$ por un lado. Se trata de calcular la cantidad de energía que se escapa por unidad de tiempo.
Los fotones que escapan del agujero durante un intervalo de tiempo $dt$ se apuntan al agujero desde algún lugar dentro de una cáscara semiesférica centrada en el agujero. Digamos que la cáscara tiene un radio $R$ . El grosor de la cáscara es $c$ $dt$ .
A continuación se muestra un diagrama de una sección transversal de la situación descrita. 
La parte sombreada de la cáscara tiene un volumen $$\text{volume of chunk} = R \, d\theta \times r \sin \theta \, d\phi \times c \, dt$$ donde $\phi$ es el ángulo acimutal que no se muestra (oscila entre $0$ a $2 \pi$ y puede pensarse que el semicírculo gira en torno a su eje central).
Suponiendo una densidad uniforme de fotones en la caja, la energía en el trozo es simplemente la densidad de energía anterior multiplicada por el volumen de este trozo: $$\text{energy in chunk} = \frac{U}{V} c dt R^2 \sin \theta d\theta d\phi$$ Sin embargo, no toda la energía de este trozo escapará por el agujero. Supongamos que los fotones del trozo tienen direcciones aleatorias. La probabilidad de que un solo fotón escape a través del agujero es igual al área aparente del agujero (visto desde la ubicación del trozo) dividida por el área total de una esfera de radio $R$ centrado en el trozo (es decir, el área total de los lugares en los que podría acabar el fotón). $$\text{probability of escape} = \frac{A \cos \theta}{4 \pi R^2}$$ Por lo tanto, la energía que se escapa de este trozo es $$\text{energy escaping from chunk} = \frac{A \cos \theta}{4 \pi} \frac{U}{V} c dt \sin \theta d\theta d\phi$$ Podemos encontrar la energía total que se escapa integrando sobre todos los ángulos hemisféricos $$\text{total energy escaping} = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \frac{A \cos \theta}{4 \pi} \frac{U}{V} c \sin \theta d\theta = \frac{A}{4} \frac{U}{V} c dt$$
Este resultado final nos da la ley de Stefan: $$\text{power per unit area} = \frac{c}{4} \frac{U}{V} = \frac{2 \pi^5}{15} \frac{(kT)^4}{h^3 c^2} = \sigma T^4$$
Hemos pasado por todo esto sólo para descubrir que la potencia emitida por unidad de superficie es igual a la densidad de energía por la velocidad de la luz, dividida por cuatro. El factor $c$ tiene sentido: los fotones (que transportan la energía) viajan a esa velocidad, por lo que la tasa de emisión de energía debería ser proporcional a $c$ veces la densidad de energía. Por lo tanto, lo único no obvio que aporta la derivación geométrica es el factor $\frac{1}{4}$ .
Mi pregunta es...
..¿hay una explicación más sencilla para este factor de $\frac{1}{4}$ ? ¿Hay algún tipo de argumento de simetría? ¿O hay que tratar de integrar sobre todos estos ángulos?
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Todo estos ángulos? Si la diferencia entre $\;\int_0^\pi\sin(\theta)d\theta\;$ (esfera unitaria) y $\;\int_0^{\pi/2}\cos(\theta)\sin(\theta)d\theta\;$ es todo el "problema" que tienes, entonces creo que tienes suerte.
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No estoy diciendo que sea difícil desde el punto de vista computacional, sino que es muy complicado. Ver el resultado me hace pensar intuitivamente que hay una explicación elegante que no requiere tomar integrales. Sin duda, mi intuición podría estar equivocada.