Suponga que la matriz cuadrada a tiene Un autovalor de 0. Es Una invertible? Por qué o por qué no?

Question

Sólo quería un poco de entrada para ver si mi prueba es satisfactoria o si se necesita un poco de limpieza.

Aquí es lo que tengo.

Prueba:Supongamos que $A$ es de planta cuadrada y invertible y por el bien de la contradicción dejar $0$ ser un autovalor. Considerar, $(A-\lambda I)\cdot v = 0$ $\lambda=0 $ $$\Rightarrow (a - 0\cdot I)v=0$$
$$\Rightarrow(a-0)v=0$$
$$\Rightarrow Av=0$$

Sabemos que $A$ es invertible y en el orden de $Av = 0$, $v = 0$, pero $v$ debe ser no trivial tal que $\det(A-\lambda I)=0$
Aquí radica nuestra contradicción.
Por lo tanto, $0$ no puede ser un valor propio.

Revisada la prueba:
Supongamos que $A$ es de planta cuadrada y tiene un autovalor de $0$. Por el bien de la contradicción, supongamos $A$ es invertible.
Considerar, $Av = \lambda v$, con $\lambda = 0$ significa que no existe un no-cero $v$ tales que $Av = 0$. Esto implica $Av = 0 \Rightarrow Av = 0$

Para una invertible la matriz $A$, $Av = 0$ implica $v = 0$ Para, $Av = 0 = a\cdot 0$ Desde $v$ no puede ser de $0$,esto significa que $A$ no debe haber sido uno-a-uno.
Por lo tanto, nuestra contradicción, $A$ no debe ser invertible.

Answer 1

La prueba es correcta. De hecho, en la plaza de la matriz $A$ es invertible si y sólo si $0$ no es un autovalor de $A$. (Se puede reemplazar todas las implicaciones lógicas en su prueba por la lógica de las equivalencias.)

Espero que esto ayude!

Answer 2

Esto se ve bien. Inicialmente, tenemos que $Av=\lambda v$ para autovalores $\lambda$ de $Un$. Desde $\lambda=0$, tenemos que $Av=0$. Ahora suponga que $a^{-1}$ existe.

Ahora multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$, obtenemos $v=0$. Esto es una contradicción, ya que $v$ no puede ser el vector cero. Así, $A^{-1}$ no existe.

Answer 3

Si $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$ son (no necesariamente distintos) valores propios de una $n\times n$ matriz $A$, entonces $$ \det(A)=\lambda_1\dotsb\lambda_n\etiqueta{1} $$ Una buena prueba de este hecho se puede encontrar aquí.

Ahora, $$ es invertible si y sólo si $\det(A)\neq0$. Por lo tanto $(1)$ implica $A$ es invertible si y sólo si $0$ no es un autovalor de $A$.

Answer 4

La prueba funciona, pero creo que podría ser limpiado un poco. Por ejemplo la frase "sabemos que es un invertible y para v=0; v=0" podría ser "Para una invertible la matriz $A$, $Av=0 \Rightarrow v=0$". Usted puede necesitar para justificar esa afirmación, tal vez haciendo referencia a un estado anterior resultado o simplemente por señalar que el mapa de $v \rightarrow Av$ es inyectiva y $A0 = 0$.

He aquí lo que yo considero una limpieza a prueba a partir de primeros principios. Yo uso un muy ligeramente diferentes, la definición de un autovalor de los suyos, $Av = \lambda v$ en lugar de su $(A - \lambda I)v = 0$, pero ya ha demostrado que el suyo implica la mina en su respuesta. También he asumido básica de la matriz/aritmética de vectores sin comentando sobre: la asociatividad, el comportamiento del vector cero, la multiplicación de un vector por un 0 escalar. Todas las cosas que generalmente precede a la definición de autovalores!

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Supongamos que $0$ es un autovalor de $A$. Es decir, $\exists v(v\neq0 \wedge Av = 0)$

A continuación, para cualquier matriz $B$,

$(BA)v = B(Av) = B0 = 0$

es decir, $(BA)v \neq v$

por lo que $BA$ no es la identidad, por lo que $B$ no es la inversa de $A$.

Por lo tanto $A$ no es invertible.

Answer 5

Su trabajo está muy bien, pero aquí está un poco de más para pensar mientras avanzar en este tema.

La multiplicación por un cuadrado $n*$ n de la matriz produce una transformación lineal (por ejemplo, traducir, rotar, ampliar/reducir) en $$ n dimensiones. Si un autovalor es $0$, entonces eso significa que a lo largo de la correspondiente autovector, la transformación de la escala de la imagen hacia abajo a cero, por ejemplo, se multiplica todas las medidas, a través de ese vector por $0$.

¿Multiplicación por $0$ tiene un inverso?