¿Cómo puedo resolver esta integral: $$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+x}}dx$$ I first completed the square and got: $$\int \frac{1}{x\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}}dx$$ Then I factored out 1/4 and got: $$2\int \frac{1}{x\sqrt{(2x+1)^2-1}}dx$$ Then I substituted $2x+1$ with $t$ and got: $$2\int \frac{1}{(t-1)\sqrt{t^2-1}}dt$$ no estoy seguro de qué hacer a continuación. Por favor, dame una pista ;)
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Silverfish
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Si usted no quiere tener "spot" que la sustitución de usar, sino que quiere un "libro de cocina" enfoque, a continuación, considere el uso de una sustitución de Euler. Esto funcionaría aquí porque usted tiene una función racional de $x$$\sqrt{ax^2 + bx + c}$, en particular con $a=1$, $b=1$, y $c=0$.
Usted puede utilizar de Euler primera sustitución si $a>0$: aquí escribimos $\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm x\sqrt{a}+t$ da $x = \frac{c-t^2}{\pm 2t\sqrt{a}-b}$. Desde $a=1$ esa es una opción, pero ni una $x+t$ ni $-x+t$ en el denominador se ven particularmente útil debido a la multiplicación por $x$. Si que había sido una adición o sustracción de $x$ lugar, a continuación, esta sustitución hubiera sido lo ideal habría cancelado.
Según la Wikipedia, se puede utilizar de Euler segunda sustitución si $c>0$: aquí escribimos $\sqrt{ax^2+bx+c} = xt\pm\sqrt{c}$ da $x = \frac{\pm 2t\sqrt{c}-b}{a-t^2}$. Desde $c=0$ no voy a seguir con esto.
Euler la tercera se utiliza la sustitución de si $ax^2+bx+c$ tiene raíces reales $\alpha$$\beta$; escribimos $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)} = (x-\alpha)t$ da $x = \frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}$. Este multiplicativo forma parece más adecuado para nuestros propósitos. En nuestro caso $x^2 + x = x(x+1)$ así que podemos aprovechar $\alpha=0$$\beta=-1$.
Cursando el tercer sustitución obtenemos inmediatamente $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{x(x+1)} = xt$ donde $t=\frac{\sqrt{x(x+1)}}{x} = \sqrt{\frac{x+1}{x}}$$x=\frac{1(-1) - 0t^2}{1-t^2}=(t^2-1)^{-1}$. A continuación,$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2t(t^2-1)^{-2}$. Poner esto juntos,
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x(x+1)}}= \int \frac{-2t(t^2-1)^{-2}\mathrm{d}t}{x^2t} = \int \frac{-2t(t^2-1)^{-2}\mathrm{d}t}{(t^2-1)^{-2} t} = \int -2 \mathrm{d}t = -2t + C$$
Expresando de nuevo en términos de $x$ da $-2 \sqrt{\frac{x+1}{x}} + C$. La ventaja de este enfoque es que no "inteligencia" es necesario para encontrar la necesaria sustitución, trabajamos a través de una lista y ver cuál es el que se aplica. Una solución más inteligente podría ser más rápido de realizar, pero el tiempo de spot.
Volviendo a Euler segunda sustitución, podemos ver que a pesar de $c=0$ esto habría funcionado bien, y en el hecho de que inmediatamente habría dado el mismo resultado que el de Euler tercera sustitución. Tengo la sensación de que el "$>$" en el artículo de la Wikipedia que en realidad debería decir "$\geq$" - pero eso no hace la diferencia, ya que al $c=0$ cuadrática sería factorise con una de las raíces como el cero y podemos aplicar la tercera sustitución como el anterior.
Finalmente, reconsiderando la primera sustitución, podríamos haber ido por delante y poner $\sqrt{x^2 + x} = x + t$$x = \frac{-t^2}{2t-1} = t^2 (1-2t)^{-1}$. Por la regla del producto,
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t(1-2t)^{-1} + 2t^2(1-2t)^{-2} = 2t(1-t)(1-2t)^{-2}$$
Sustituyendo en la integral y la limpieza es bastante desordenado, por las razones mencionadas anteriormente, pero se puede hacer. Saltarse un buen montón de álgebra,
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x(x+1)}}= \int \frac{2t(1-t)(1-2t)^{-2}\mathrm{d}t}{t^2 (1-2t)^{-1} ( t^2 (1-2t)^{-1} + t)} = \int 2t^{-2} \mathrm{d}t = -2t^{-1} + C$$
En términos de $x$, esto es $\frac{2}{x - \sqrt{x^2 + x}} + C$. Esta es una forma alternativa a la dada por Euler tercera sustitución, pero era más difícil de adquirir. Así que no acaba de saltar directamente a la primera sustitución ves que reúne las condiciones necesarias en los coeficientes; pasar un momento de considerar cual de las opciones que mejor se adapta a la forma de la pregunta.
