En una búsqueda en Google, he observe que a menudo el "truco" consiste en factorizar la expresión (y demostrando así que la expresión no es primo), pero no puedo ver. ¿Es esta la manera de ir sobre ella en este caso, o tendría que ser un callejón sin salida? Cualquier sugerencias?
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user26486
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Si $n\equiv 1\pmod {4}$,$8^n\equiv 8\pmod {13}$, por lo que $$19\cdot 8^n+17\equiv 19\cdot 8 + 17\equiv 0\pmod {13}$$
Si $n\equiv 3\pmod{4}$,$8^n\equiv 2\pmod {5}$, por lo que $$19\cdot 8^n + 17\equiv 19\cdot 2 + 17\equiv 0\pmod {5}$$
Si $n$ es incluso, a continuación, $19\cdot 8^n + 17$ es divisible por $3$.
Y claramente $19\cdot 8^n + 17>13, \forall n\in\mathbb Z^+$.
David HAust
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Sugerencia $\ $ Buscando en el primer factorizations de la primera $\,\color{#c00}4\,$ elementos, podemos notar lo siguiente.
$ 8^{\large\color{#c00}4}\!-1 = 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13 = \prod p_i ,\,$ y algunos de los mejores $\,p_i\mid f_K\! = 19\cdot 8^{K}\!+17\,$ todos los $\,K <\color{#c00} 4,\,$ por lo que en algunos $\,p_i\mid f_N\,$ todos los $\,N,\,$ $\,f_N\,$ está compuesto por todos los $\,N\ge 0.\,$
Prueba de $\ $ Dividiendo $\,N\,$ $\,4\,$ rendimientos $\,N = K\!+4J\,$ $\,K < 4.\ $ Por la hipótesis de algunos $\,p = p_i\mid f_K$
${\rm mod}\ p\!:\,\ \color{#c00}{8^{ 4}}\equiv\color{#c00} 1\,\Rightarrow\, \color{#0a0}{8^N} \equiv 8^{K+4J}\!\equiv 8^K(\color{#c00}{8^4})^J\equiv 8^K\color{#c00}1^J\equiv \color{#0a0}{8^K}\ $ $ $ de la Congruencia de las Reglas.
$p\mid f_K\Rightarrow\, 0\equiv 19\cdot \color{#0a0}{8^K}\!+17\equiv 19\cdot \color{#0a0}{8^N}\!+17 \equiv f_N\Rightarrow p\mid f_N,\,$ correctamente por $\,p < f_4 \le f_N$
Joaquin Cuenca Abela
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No sé si esto califica como respuesta, pero si se reducen mod $3$ se puede ver que la expresión es divisible por $3$ si $n$ es incluso.
Si usted reducir mod $13$, a continuación, puede ver que la expresión es divisible por $13$ si $n \equiv 1$ mod $4$. ($8^4 \equiv 1$ mod $13$ )
Si usted reducir mod $5$, entonces la expresión es divisible por $5$ si $n$ $3$ mod $4$.
He calculado un par de números y, a continuación, trató de algunos números. No creo que este es un buen camino a todos, pero supongo que funciona.
