Estadística completa para $\sigma^2$ en un $N(\mu,\sigma^2)$

Question

Me gustaría saber si la estadística $$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ está completo para $\sigma^2$ en un $N(\mu,\sigma^2)$ el escenario.

¿Depende esto de si $\mu$ ¿se conoce previamente o no? Si $T$ está completo para $\sigma^2$ entonces por Lehmann-Scheffé es UMVUE . Pero si $\mu$ fueran conocidos, podríamos haber considerado $$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ cuya varianza es igual al límite de Cramer-Rao $2\sigma^4/n$ y es estrictamente inferior a $2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$ Así que $T$ no podría ser UMVUE.

Answer 1

Creo que he resuelto mi propia pregunta. Los comentarios sobre esta respuesta y las nuevas respuestas son bienvenidos.

Si $x_1,\ldots,x_n$ son observaciones en un $N(\mu,\sigma^2)$ población y $\mu$ es desconocido entonces $$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ (esto demuestra que la familia normal es una familia exponencial). Como la imagen del mapa $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ contiene un conjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ por un teorema (por ejemplo, véase la página 6 aquí ), la estadística $U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ es suficiente y completa para $(\mu,\sigma^2)$ . Como $T$ es una función de $U$ y está centrado para $\sigma^2$ , por Lehmann-Scheffé $T$ es UMVUE para $\sigma^2$ .

Ahora bien, si $\mu=\mu_0$ es conocido , $\mu$ ya no pertenece al espacio paramétrico, por lo que la "nueva" función de densidad es $$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ (tenemos una nueva familia exponencial). Como la imagen del mapa $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ contiene un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ nuestra estadística $W$ es suficiente y completa para $\sigma^2$ . Ya que además está centrado, $W$ es UMVUE para $\sigma^2$ por Lehmann-Scheffé.

Answer 2

En su estadística $T(X_{1},\ldots,X_{n})$ , $\bar{X}$ se utiliza como estimación de $\mu$ . Si conoce el verdadero valor de $\mu$ entonces el estimador de la varianza $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ es preferible. $W$ es insesgada y tiene una varianza menor que $T$ . Por lo tanto, en el escenario en el que $\mu$ es conocido, utilice $W$ .

Answer 3

W(X1, ,Xn) es no un estimador insesgado, por lo que no es un UMVUE. En realidad, T es la UMVUE porque es un estadístico suficiente completo y también un estimador insesgado para $\sigma^2$ . Por lo tanto, según Lehmann-Scheffé, es el UMVUE.