La probabilidad de seleccionar dos números con una suma de cuadrados, divisible por 10

Question

Dos números naturales $x$ $y$ son elegidos al azar. Encontrar la probabilidad de que $x^2 + y^2$ es divisible por 10.

Yo no podía entender cómo seleccionar dos números de cualquier número natural (infinito).

Answer 1

Tu pregunta parece estar más acerca de la corrección del problema en primer lugar.

El problema está mal planteado. No hay espacio muestral y la distribución de probabilidad que tendría este problema "bien planteado".

Más bien, sin previo aviso, lo que está sucediendo aquí es diferente. Estos problemas, sin que se dijo, significa lo siguiente:

En PRIMER lugar, tomar un gran $N$ y resolver el problema de los números naturales recogido de $0$$N$. Calcular la probabilidad, llame a $p_N$. A continuación, calcular el límite de$p_N$$N \to \infty$.

Usted puede ser capaz de resolver el problema de $N$ de la forma $10k + 9$ (por lo que el número de números naturales de $0$ $N-1$es un múltiplo de a $10$). En ese caso la respuesta puede ser que realmente no dependen $N$. Si no alboroto acerca de todos los detalles, se puede afirmar que esa es la respuesta.

Answer 2

Tenemos que analizar cómo es la probabilidad de que $$ x^2+y^2\equiv0 \mod 10\hspace{2cm}(\estrellas) $$ sostiene. En primer lugar observamos que si se cumple para algún par de $(x,y)$ a continuación, se llevará a cabo por $(x+10k,y+10j)$, por lo que podríamos limitarnos al caso $0\leq x,y<10$ y la probabilidad de que estamos buscando es $$ p=\frac{\#\{(x,y):(\estrellas)\text{ y }0\leq x,y<10\}}{\#\{(x,y):0\leq x,y<10\}}. $$ El denominador es claramente $100$. Para calcular la cantidad en la que el numerador nota que $$ (0^2,1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2)\mod10=(0,1,4,9,6,5,6,9,4,1). $$ De cuántas maneras se pueden añadir dos entradas de la RHS por lo que el resultado de la suma es $0$ o $10$? Que es el número que estamos buscando. Puede parecer demasiado tedioso al principio, pero aviso que para $a+b$ incluso $a$ $b$ debe tener la misma paridad. Teniendo esto en cuenta es fácil encontrar que hay $18$ tal forma y manera que $$ p=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}. $$

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Edición: [parece ser que Existen algunas preocupaciones acerca de mi respuesta, ya que no abordan explícitamente el bien plantea el problema de la pregunta, así que vamos a ser más riguroso:]

Como se ha señalado en el OP, el primer inconveniente que uno se enfrenta con este problema es que no sabemos cómo vamos a recoger (con una distribución uniforme) un número aleatorio en un conjunto infinito como $\mathbb{N}$. La forma habitual para omitir esta es la primera de resolver el problema con las restricciones adicionales $x,y\in\{0,\ldots,n-1\}$ para obtener $$p_n=\frac{\#\{(x,y):(\star)\text{ and }0\leq x,y<n\}}{\#\{(x,y):0\leq x,y<n\}},$$ y luego (si existe) tome $p_\infty:=\lim_{n\to\infty}p_n$ como la respuesta. Vamos a calcular $p_n$, entonces:

Bastará con calcular $p_n$$n\geq 10$, así que podemos escribir $n=10d+r$ algunos $d>0$ y algunos $0\leq r<10$. Llamar $$ N_{j,k}=\#\{(x,y):(\estrellas)\text{ y }10j\leq x<10(j+1),\,10k\leq y<10(k+1)\} $$ tenemos que $$ (\ast)\,\,\,\,n^2p_n=\underbrace{\#\{(x,y):(\estrellas)\text{ y }\left[10d\leq x<n\text{ o }10d\leq y<n\right]\}}_{=:R}+\sum_{0\leq j,k<d}N_{j,k}. $$ El cálculo de $R$ explícitamente promete ser realmente tedioso, pero podemos fácilmente obligado; $$ R\leq\sum_{i=0}^{d-1}N_{a,d}+N_{d,d}+\sum_{i=0}^{d-1}N_{d,l}. $$ Ahora el punto clave (como usted probablemente ha notado ya) es que, exactamente por el mismo argumento que la primera versión de esta respuesta, tenemos $N_{j,k}=18$ para cada par de índices de $j,k$. La realización de este a $(\ast)$ obtenemos $$ 0\leq p_n-\frac{18 d^2}{n^2}=\frac{R}{n^2}\leq\frac{18(2d+1)}{n^2}, $$ que la escritura de $d$ $d=\lfloor\frac{n}{10}\rfloor$ y tomando límites de $n\to\infty$ nos permite concluir $$p_\infty=\frac{18}{100}.$$

Answer 3

Que son parcialmente correctas, y parcialmente equivocada.

Es imposible definir una distribución de probabilidad uniforme en los números naturales (es decir, uno donde cada número tiene la misma probabilidad de selección).

Es posible, sin embargo, para definir la no-uniforme de las distribuciones de probabilidad en el espacio de muestreo de todos los números naturales. Por ejemplo, se lanza un dado hasta que sacas un 6, y contar cuántos rollos se tomó.

Para el propósito de esta pregunta, usted tiene que tomar la posición de "si no fue una distribución uniforme sobre $\mathbb{N}$, y seleccionó dos números al azar, ¿cuál sería la probabilidad de que esta propiedad?", que no tiene una interpretación significativa - tomar la secuencia de distribuciones $U_n \sim \mbox{Uniform}(n)$, es decir, cuando la probabilidad de que $U_n = k$$k \in \{1, \ldots, n\}$$\frac{1}{n}$. A continuación, tomar dos empates $x_n$$y_n$$U_n$, y consideran que la probabilidad de que $x_n^2 + y_n^2$ es divisible por 10.

A continuación, considere lo que sucede en el límite de $n \rightarrow \infty$. ¿Que probabilidad convergen a un cierto valor fijo? De hecho, se puede engañar y hacer el cálculo como si la distribución uniforme sobre los productos naturales que existían en el primer lugar? Como en, si hacemos el cálculo con $Prob(U_\infty = k) = \frac{1}{\delta}$ por un infinitesimal $\delta$, hacer todas las $\delta$s de la deserción para darle algo vagamente significativa en la final? La respuesta es sí, y es lo que las otras respuestas a esta pregunta son las principales.

(No sería la garantía de que la probabilidad sería el mismo para cualquier distribución de probabilidad sobre los números naturales, que es la razón por la que usted tiene que asumir algo degenerado de distribución que he descrito existe).

Answer 4

Su lógica simple. Contar números sobre la base de los últimos dígitos cuya suma de cuadrados de hace 0.

Para los casos Favorables = {(0,0),(1,3),(1,7),(2,4),(2,6),(3,1),(3,9),(4,2),(4,8),(5,5),(6,2),(6,8),(7,1),(7,9),(8,4)(8,6),(9,3),(9,7)} = 18

Total de casos = Valor de x puede ser cualquier dígito de 0 a 9. Del mismo modo y.

$= 10 * 10 = 100$

$Probability = \frac{\text{No. of favourable cases}}{\text{Total no. of cases}}$

$= \frac{18}{100} = \frac{9}{50} $