Donde es el error en este problema?

Question

Deje $$S = \sum^{\infty}_{n=1} a(n)$$ ser una serie infinita tal que la n-ésima suma parcial es dada por: $$S(n) = \frac{n - 1}{n + 1}$$

ya que $$ a(n)=S(n)-S(n-1)=\frac{2}{n(n+1)} $$

Ahora, $S(1)=a(1)\Leftrightarrow 0=1.$ ¿Dónde está el error?

Answer 1

Buen ejemplo de por qué usted tiene que tener cuidado con los límites :) voy a corregir tu post:

Deje $$S = \sum^{\infty}_{n=1} a(n)$$ ser una serie infinita tal que la n-ésima suma parcial es dada por: $$S(n) = \frac{n - 1}{n + 1}$$

para todos los $n \ge 1$, e $S(0) = 0$.

ya que $$ a(n)=S(n)-S(n-1)=\frac{2}{n(n+1)} $$

para todos los $n \ge 2$.

Ahora, $S(1)=a(1)\Leftrightarrow 0=1.$

Pero ahora esto se cae a pedazos, porque la anterior declaración únicamente para $n \ge 2$.

Answer 2

El error está en decir que el $n$'ésima suma parcial es $(n-1)/(n+1)$, con la implicación de que esto se aplica a $n=0$$n=1$.

Answer 3

Dependiendo de su definición hay dos posibles problemas:
Si S(0) existe: A continuación, $S(0)$ definiciones como $S(0)=\sum_{n=1}^0a(n)=0$ $S(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$
Si $S(0)$ no existe: a Continuación, $S(1)$ es el primer término y $a(1)=S(1)-S(0)$ no es una fórmula válida para $a(1)$

Answer 4

Cuando

$S_n-S_{n-1}=f(n)-f(n-1)$,

usted también tiene

$S_n-S_{n-1}=(f(n)+C)-(f(n-1)+C)$

para cualquier constante $C$.

Así que sólo se puede garantizar la $S_n=f(n)+K$ para algunas constantes $K$. Si $K$ no sea cero para su elección de $f(n)$ y te pillan por sorpresa, se obtiene la discrepancia reportado en la pregunta. Usted tiene que comprobar el primer término específicamente para concretar el valor correcto si $K$.