¿Por qué algunas integrales y derivadas tienen valores absolutos?

Question

He observado que algunas integrales y derivadas tienen valor absoluto. Por ejemplo: $$\int\frac 1 x \, dx=\ln|x|+c$$ para $x$ no es igual a cero. Entonces, el punto es por qué existe el valor absoluto de $x$ ?

Answer 1

Porque si $x < 0$ , $\log x$ no está definido, así que ciertamente es derivado no es igual a $\frac 1x$ por otro lado $\log -x$ funciona bien (¡compruébalo!)

Así que hay que escribir $\int \frac 1x$ igual a $\log x $ si $x > 0$ e igual a $\log -x$ si $x<0$ . Resumimos esto poniendo el valor absoluto del logaritmo, aunque en $0$ la función no está definida y no es diferenciable

Answer 2

La antiderivada de $f(x)$ es una función $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$ para todos $x$ en el ámbito de $f$ .

Así, $\ln|x|$ es una antiderivada de $\frac{1}{x}$ porque

• si $x>0$ , $\frac{d}{dx}(\ln|x|)=\frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}$
• si $x<0$ , $\frac{d}{dx}(\ln|x|)=\frac{d}{dx}(\ln(-x))=\frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x)=\frac{1}{-x}\cdot (-1)=\frac{1}{x}.$

Sería un error decir que $\ln(x)$ es una antiderivada para $\frac{1}{x}$ porque no se define cuando $x<0$ . Por lo tanto, $\frac{d}{dx}\ln(x)$ no se define cuando $x<0$ por lo que no puede ser igual a $\frac{1}{x}$ (que es definido para $x<0$ ).

Answer 3

Simplemente porque al tomar la derivada de esas funciones con valores absolutos se obtendrá el integrando original.

Answer 4

Supongamos que sabemos que $\dfrac d {dx}\ln x = \dfrac 1 x,$ y que eso, por supuesto, presupone que $x$ es positivo.

Ahora supongamos que queremos una antiderivada de $1/x$ en el intervalo $(-\infty,0)$ es decir, todos los valores negativos de $x.$

$$ f'(x) = \frac 1 x, \quad x<0. $$ Para $a<b<0$ tenemos $$ \int_a^b \frac 1 x \, dx = f(b) - f(a). $$

Dejemos que $u = -x$ Así que $du = -dx$ . Como $x$ va de $a$ (que es negativo) a $b$ (que es negativo), entonces $u$ va de $-a$ (que es positivo) a $-b$ (que es positivo), y tenemos $$ \int_a^b \frac 1 x \, dx = \int_{-a}^{-b} \frac 1 {(-u)}\, (-du) = \int_{-a}^{-b} \frac 1 u \, du = \ln(-b) - \ln(-a) = \ln|b| - \ln|a|. $$ Diferenciando con respecto a $b$ produce $$ \frac d {db} (\ln |b| - \ln |a|) = \frac d {db} \int_a^b \frac 1 x \, dx = \frac 1 b. $$ Y esto es con $b<0$ .

Answer 5

Otra forma de ver esto es observando el gráfico de $f(x) = \frac 1 x$ que tiene dos partes no conectadas, ya que el 0 no forma parte del dominio.

De la misma manera pero más obviamente, la función (con el mismo dominio) y la definición:
$ F(x) = lnx + c $ (cuando x>0), $ ln(-x) + c $ (cuando x<0)
tiene dos partes no conectadas. Pero podemos reescribirlo de forma más compacta como $ F(x) = ln |x| + c $ .