Auto-Estudio de Álgebra Abstracta; Sí o No?

Question

Soy un estudiante de secundaria con un profundo interés en las matemáticas, es por eso que se han estudiado Álgebra Lineal y han comenzado a mi auto-estudio de las Ecuaciones Diferenciales. Como soy un hombre que le gusta planear de antemano, estoy pensando en lo que el campo de las matemáticas, para sumergirse en una vez que he terminado DE. Estoy pensando en Álgebra Abstracta: siempre ha sonado mística y intruiging a mí por alguna razón. Tengo un par de preguntas con respecto a AA:

• ¿Qué es exactamente el Álgebra Abstracta? ¿Qué estudio? Por favor, use su propia definición, no hay definición de wikipedia, por favor.

• ¿Cuáles son sus aplicaciones? Tiene un uso, por ejemplo, en la física o la química, o es tan abstracto como su nombre lo indica?

• Sería un paso lógico para un estudiante de secundaria con el auto-estudio álgebra abstracta después de estudiar LA y DE DE, o es que hay un campo de (post-secundaria) matemáticas "mejor" o más útil para el estudio antes de álgebra abstracta?

• ¿Cuáles son algunos buenos libros, pdf, open courseware, etc. en álgebra abstracta? los enlaces y los nombres por favor.

Answer 1

Sí, abstracto algebraica es el siguiente paso lógico para usted, suponiendo que usted ha desarrollado un nivel adecuado de madurez en matemáticas a partir de su estudio de álgebra lineal y ecuaciones diferenciales (por ejemplo, si los libros de texto enseñan la teoría más de la computación).

Es difícil definir álgebra abstracta en un MSE respuesta. Aquí es un comentario de un Mensual de revisión de Nathan Jacobson clásico libro de texto de álgebra que puede prestar un poco de perspicacia.

"Este revisor no intentar una definición de la esencia de este pensamiento algebraico. Pero tal vez el lector se excusa un poco blando la especulación. Álgebra parece ser acerca de las propiedades integrales de colecciones de cosas que, aunque no tienen la condición de independientes, derivan su significado de las relaciones y operaciones que existen en la colección como un todo. Se hace una pequeña diferencia de que el los elementos de nuestro anillo, dicen, son las matrices, o los operadores diferenciales, o formal de las combinaciones lineales de los elementos del grupo; de hecho, incluso puede ser una positivo obstáculo para pensar en ellos de esa manera. Por ejemplo, considere la los grupos de Galois de la teoría: es de vital importancia, en fin, a pensar de estos grupos como grupos de sustituciones en las raíces de la ecuación se examinado, pero los problemas técnicos que iba a asistir a un intento de demostrar el criterio de solvencia por los radicales, mientras trabajaba exclusivamente dentro de esta particular representación sería enorme. Mucho mejor ignorar la naturaleza de los elementos y a pensar en el grupo, como una cosa en sí mismo. Para tomar otro ejemplo: la noción de que los cosets de un normal subgrupo de un grupo, mientras que ha significado intrínseco como subconjuntos del grupo original, se considera como unidades, como elementos de un nuevo grupo, el grupo cociente, es a menudo el pons asinorum de la Básica Curso de álgebra. Aquellos que se cruzan con éxito suelen hacer aprender a pensar de manera algebraica. Probablemente es injusto afirmar que este modo de pensamiento - ignorando la esencia de los elementos de una estructura y centrándose en su relaciones - como exclusiva de Álgebra. Esta es la base de mucho de lo moderno la abstracción, y no sólo en las matemáticas; ver por ejemplo [Piaget: Estructuralismo]. Pero el Álgebra parece aparecen cuando las estructuras dominar un pedazo de pensamiento matemático."
-- Andy Magid, Amer. De matemáticas. Mensual, Oct. 1986, pág.665
-- extracto de una revisión de Nathan Jacobson: Álgebra Básica I

Así álgebra abstracta enseña una especie de estructural de la abstracción, que es omnipresente en las matemáticas y sus aplicaciones. Por ejemplo, pregunte si álgebra tiene aplicaciones en la física y la química. Uno de los temas de álgebra es un estudio general de la simetría por medio de la teoría de grupos. En química se aplica a los cristales a través del estudio de los grupos cristalográficos, y en la física de la Mentira de la simetría de los grupos de ecuaciones diferenciales parciales juegan un papel fundamental, e.g, del consejo de gobierno de leyes de conservación y de separación de variables. Y, a pesar de Hardy especulaciones al contrario, incluso muy "pura" de los campos de álgebra como la teoría de números se han encontrado importantes aplicaciones (criptografía, teoría de la codificación, etc). También la geometría algebraica tiene muchas aplicaciones interesantes (por ejemplo, en la robótica y sistemas de control), especialmente el uso eficaz de técnicas constructivas, tales como bases de Grobner. Estas son sólo algunas de las numerosas aplicaciones físicas.

Answer 2

Antes de forraje por delante en el estándar cirriculum, yo recomendaría

• Aprender más de la historia de las matemáticas
• De trabajo a través de un montón de ejemplos concretos en lugar de tratar de aprender los teoremas en su máxima generalidad (como los que se presentan en muchos de los textos de álgebra).

El aprendizaje de la historia de las matemáticas puede proporcionar una gran contexto y la motivación de la matemática moderna, por no mencionar el valor inspirador de las historias de los grandes descubrimientos matemáticos. El estándar cirriculum generalmente ofrece poco en el camino de la motivación y relativamente poco en el camino de ejemplos concretos, y así, es fácil que gastar un montón de tiempo de aprendizaje de los teoremas y pruebas sin desarrollar un buen sentido intuitivo de lo que está pasando. (Te nota que estas mis palabras aquí no están destinados específicamente para autodidacts, sino para las personas que están interesadas en el aprendizaje de la matemática superior en general).

Algunos de álgebra recomendaciones específicas que ofrecen una perspectiva histórica o un montón de ejemplos sencillos son:

1. Ronald Irving Enteros, y Anillos de Polinomios
2. Sethuraman de los Anillos, Campos y Espacios Vectoriales
3. Jean-Pierre Tignol es de Galois de la Teoría de Ecuaciones Algebraicas
4. John Stillwell de las Matemáticas y Su Historia y Elementos de Álgebra

También recomiendo no atarse abajo a un libro en particular - puede ser muy beneficioso para echar un vistazo a un montón de diferentes libros porque a menudo de los temas en un asunto dado, Un Libro que será mejor para el tema de X mientras que el libro de B va a ser mejor para el tema Y, etc. Si usted no tiene acceso a una biblioteca académica y no puede permitirse el lujo de comprar un montón de caras de libros de matemáticas, usted todavía puede ordenar un montón de libros a través de préstamo interbibliotecario en su biblioteca pública.

Siéntase libre de enviarme un correo electrónico si usted tiene más preguntas.

Answer 3

Voy a responder a su pregunta por la dirección a un campo diferente de la primera. En la mayoría de cualquier universidad a la que yo sé acerca de, antes de tomar álgebra abstracta, usted podría tomar un curso que se llama algo así como el Razonamiento matemático o Introducción a las Pruebas o algo así, donde se aprende mucho de los fundamentos de la prueba de las cosas. Es decir, un curso de este tipo es un prereq de álgebra abstracta. Así que, probablemente sería bueno al menos el estudio de algunos de esta primera, y usted no hizo mención de que, en todo. En álgebra lineal, usted podría aprender un poco acerca de probar cosas, pero no todo lo que usted necesita saber.

Esta clase se presentará a las cosas básicas como la lógica, métodos de prueba (incluyendo la inducción matemática), la teoría de conjuntos, tal vez de $\delta$-$\epsilon$ pruebas de que en los Estados Unidos no solemos hacer en Cálculo 1, binario relaciones, funciones, bijections, y tal. Y, como usted aprender estas cosas básicas, usted puede conocer a algunas ideas de la diversión a lo largo del camino.

Por supuesto, estamos hablando acerca de la auto estudiando, así que usted está buscando un libro. Parece que el libro de los profesores están usando en mi actual de la institución es el Pensamiento Matemático por D'Angelo y el Oeste. Una vez que usted consiga algunos conceptos básicos, usted puede leer la Conjetura y la Prueba, un libro escrito desde la enseñanza más avanzada, curso de probar cosas en el Budapest Semestres en Matemáticas. Tiene un montón de fresco temas.

Answer 4

Aquí hay un enlace a la universidad de Harvard Matemáticas 122 (Extensión 222) impartido por uno de los grandes - Benedicto Bruto.

Ofrece una serie completa de videos junto con las notas tomadas por un muy competente GSI, que hace una exhaustiva presentación del primer curso de álgebra.

http://www.extension.harvard.edu/open-learning-initiative/abstract-algebra

De ello se desprende "Artin" que creo que es un excelente punto de entrada para la comprensión intuitiva. (Un eco de la anterior observación con respecto a Dummit y Foote - que es mucho mejor cuando usted consigue más en anillos, módulos, etc.) Si usted decide ir a esta ruta y comprar el texto, yo recomendaría el más reciente 2ª edición.

Si bien no soy un experto en el plan de estudios de matemáticas, la mayoría de los programas implican análisis, topología y álgebra. Si aún no ha realizado análisis real, aquí hay un enlace a un descargable gratuito bellamente transcrito conferencia en el curso por los Campos ganador de la Medalla de Vaughan Jones. Esto también os aseguro que es excepcional, y puede ser mejor el próximo paso.

https://sites.google.com/site/math104sp2011/lecture-notes

Por último, no saber lo que se utiliza para el estudio de álgebra lineal, es posible que desee echar un vistazo a Axler del "Álgebra Lineal se Hace bien." Me gustaría hacer eso después de que el análisis real y antes de que el álgebra material.

P. S. Ya que estos materiales están disponibles sin ningún costo, usted puede ser que desee tomar sólo un sabor de chocolate, comer es creer.

Answer 5

Álgebra abstracta generaliza los tipos de cosas que usted puede "hacer álgebra". Por ejemplo, en teoría de grupos, que a menudo trabajan con permutaciones en lugar de números. Las cosas empiezan a parecerse más al álgebra usted ya está familiarizado con cuando usted consigue el anillo de la teoría y de la teoría del campo, pero todavía hay un montón de objetos inusuales en esas áreas.

Básicamente lo que haces es tomar distancia como muchos que anteriormente en poder de las hipótesis como posible y tratar de reducir algebraico de problemas a sólo lo que realmente se necesita. En este sentido, se buscan la vista más amplio posible, y, al hacerlo, son capaces de aplicar lo aprendido a una gama mucho más amplia de las estructuras.

Aplicaciones:

• La moderna criptografía es enteramente construido fuera de álgebra abstracta, en particular a partir de la teoría de campos finitos. La teoría de la codificación es también muy algebraicas, con aplicaciones directas y "cómo pensar" aplicaciones.

• Grupo de teoría se utiliza en la mecánica cuántica, en realidad, podría decirse que es toda una subdisciplina de álgebra dedicado a esto.

• Otras áreas de las matemáticas requieren de una considerable comprensión del álgebra abstracta cuando se mueve a niveles avanzados. Obviamente nada con "algebraica" en el título se va a necesitar (por ejemplo, la geometría algebraica, teoría algebraica de números, etc.) Otros ejemplos, la topología de los usos fundamentales de los grupos, y el análisis funcional de los usos de toneladas de resumen de álgebra lineal. Por esta razón, las personas a menudo dicen que el aprendizaje del álgebra abstracta de aprendizaje es el lenguaje de las matemáticas superiores, aunque algunos (yo incluido) encuentre el campo interesantes para su propio bien.

Como para cuando es el momento para empezar a estudiar álgebra abstracta, usted está listo tan pronto como usted es capaz de escribir pruebas. Si usted se siente cómodo con el directo de las pruebas, la contrapositivo/contradicción, y por lo menos un poco de inducción, a continuación, ir a por ello. Si no, comprar este libro.

Si usted piensa que está listo, mi preferencia personal se ha de estudiar con varios libros a la vez. Muchos se recomienda Dummit y Foote, que es un gran libro, pero en mi opinión puede ser demasiado pesado para un principiante. Empecé en Fraleigh, que estaba bien. (Si usted se auto-estudio, Fraleigh puede ser bueno porque no es un manual de soluciones disponibles en línea). Aunque no he utilizado yo mismo he oído que Artin es muy motivada por ejemplos (muy importante para el álgebra abstracta) y por lo tanto un buen lugar para empezar. Yo no sé mucho acerca de la línea álgebra abstracta de los recursos, pero en general, creo que los libros son mejores. Así que te recomiendo adquirir uno de esos, ya sea desde la biblioteca, a través de los callejones de la internet, o con dinero real, si usted la tiene.