Cierta confusión sobre lo que es una función que "realmente es".

Question

A pesar de mi nombre de usuario, mi experiencia es principalmente en el análisis funcional, donde (al menos a mi entender), una función de $f$ es considerado como un objeto matemático en su propio derecho claramente diferentes de los valores que toma en el punto de evaluación (es decir,$f(x)$). Otra forma de decir esto es que los posibles valores de una función en virtud de la evaluación son las propiedades de la función, cuando se la considera como su propio objeto matemático.

Sin embargo, estoy leyendo un libro sobre los fundamentos de las matemáticas por Kunen y se refiere a una función como estar identificado con su gráfica (es decir, un conjunto de pares ordenados) en la teoría de conjuntos axiomática. Yo estaba bajo la impresión de que esta definición de una función como un conjunto de pares ordenados fue una simplificación excesiva que los profesores utilizan en la escuela secundaria que uno creció fuera de pasado cálculo.

Así que de todos modos, ¿qué es lo más fundamental de la definición de una función? Obviamente todos nosotros (los estudiantes de matemáticas) saben lo que es una función de forma intuitiva, pero formalmente, tengo un tiempo difícil de tragar la idea de que una función es la misma cosa que su gráfica. Me doy cuenta de que todo el punto de la teoría de conjuntos axiomática es hacer lo posible para denominar a cada objeto matemático, en términos de conjuntos, pero me parece que esta definición es particularmente decepcionante. Sospecho que esta es una de esas cosas que sólo depende del área que uno elige para trabajar en el, pero me encantaría ver lo que los pensamientos de algunos de los más experimentados matemáticos aquí puede ofrecer.

Answer 1

Hay dos comunes "general" de las definiciones para las funciones de la matemática moderna:

1. Una función es un conjunto (o clase) de pares ordenados con una propiedad particular: si $(x,y)$ $(x,z)$ a que ambos pertenecen a la función, a continuación,$y=z$.

2. Una función es una ordenó triplete, $(A,B,f)$ $f$ siendo un conjunto de pares ordenados según la definición anterior se va, con dominio de $A$ y el rango de un subconjunto de a $B$.

(Puede haber otras definiciones, dependiendo del contexto).

Estas definiciones no son "una simplificación excesiva que los profesores utilizan en la escuela secundaria", y ciertamente no es algo para "crecer fuera de" pasado de cálculo. De hecho, en la mayoría de las escuelas secundarias, un estudiante es probable para creer que una función siempre está dado por algún tipo de fórmula, mientras que en ambas definiciones abstractas ninguna fórmula que se necesita, y en muchos casos, ni siquiera se puede asumir que hay una fórmula en el meta-lenguaje que define la gráfica de la función.

No hay ninguna razón para ser decepcionados por esta formalización más de lo que hay para ser decepcionados por la aplicación de "integer" como un número en una gama limitada (como$-2^{31}$$2^{31}-1$) cuando se trata de la programación en C. Funciones, así como los números enteros en C, son útiles para nosotros y su formalización funciona bien; y cuando llegamos a algunas limitaciones de estas formalizaciones podemos evitarlas (con funciones de clase en la teoría de conjuntos, y con bignum bibliotecas en C, a menudo limitado principalmente por la memoria disponible).

Hay dos buenas razones para no pensar en funciones en términos de "propiedades":

1. Cuando la formalización de las matemáticas, uno puede mostrar que, en general, uno no debe esperar que cada objeto matemático a tener "expresable propiedades". Es decir, dado que los números reales, y cualquier "ingenuamente razonable mecanismo de denominación" habrá números reales que no puede ser nombrado. Así que si no podemos esperar a que todo número real tiene un discernimiento de la propiedad, ¿por qué deberíamos esperar más complicado objetos para tenerlos?

2. El punto de la teoría de conjuntos como fundacional de la teoría para aplicar las matemáticas a un nivel semántico. Es decir, interpretar los objetos como conjuntos. Tener una muy simple definición de un conjunto (en un sentido técnico de "muy simple") es una buena cosa, y permite que los fundamentos para realizar todo tipo de teoremas. Por ejemplo, cuando se habla lo suficientemente simples declaraciones acerca de los números naturales, se puede omitir el axioma de elección de las hipótesis.

   Una de las razones por las que esto puede ser hecho es que nuestra interpretación de la "función" es lo suficientemente simple que podemos estar seguros de que no cambia entre nuestro universo original, y un universo interior, donde el axioma de elección se mantiene. De esta manera podemos asegurar que si la declaración era verdad en el universo interior, que seguirá siendo así en nuestro universo. Por supuesto, uno podría formalizar similar teoremas para sin embargo desea codificar funciones en conjuntos, pero el más complicado el mecanismo de codificación se convierte en el más frágil de nuestro teoremas de convertirse, y se hace más difícil de probar.

   Entonces, la simplicidad, tiene sus ventajas a la hora de probar cosas desde un fundamental punto de vista.

Answer 2

Cómo ver una función que depende de lo que quieras hacer con esa función. Si la teoría de conjuntos es su fundación, a continuación, las funciones son modelados como pares de elementos entre los elementos del dominio y que los elementos de la imagen en la codomian.

Sin embargo, en el tipo de teorías de una función es tratado como un fundermental algo que no puede ser simplificado. Simplemente describir cómo funciona el mapa entre los tipos a través de cálculo lambda.

En la categoría de teoría el hecho de que la función de los elementos del mapa se vuelve menos importancia como una de las funciones de comportamientos como los que se compone con otras funciones se vuelve más importante.

Answer 3

En general, los matemáticos no están tan interesados en lo que las cosas son, más en qué cosas hacer. Una función es una cosa que se puede aplicar a los objetos para obtener otros objetos. Realmente no importa si se define una función como un gráfico, como una terna (dominio, codominio, gráfico), un objeto de la clase, o algo completamente distinto - aún representa el mismo concepto abstracto. (Suponiendo que la definición apoya este concepto, por supuesto).

Una vez que usted establezca las propiedades básicas de las funciones, prácticamente se puede olvidar la definición. Al igual que yo sé que 4+5=9 sin preocuparse de si he definido números naturales como conjuntos de todos los números naturales, o algo más.

Personalmente creo que la definición como un gráfico más elegante que el triplete definición. Especificar el dominio es innecesario, dado que es el único que puede obtener del gráfico. Especificar el codominio no añadir algo de información, pero esta información adicional es a menudo irrelevante. Por no hablar de que los tresillos de por sí complicado de definir.

Incluso con la gráfica de la definición, la función es todavía "un objeto matemático en su propio derecho". La colección de todos los valores que le da a todas las entradas, es una abstracción que trasciende cualquier valor que tome.

Answer 4

Revisión de dos conjuntos de $X,Y$. Una relación $R$ $X$ $Y$es más que un subconjunto del producto cartesiano $X\times Y$. Podemos decir $x$ está relacionado con $y$ si $(x,y)\in R$. Una relación es, pues, una selección de pares de $(x,y)$. Una función de $X$ $Y$es una relación $f$ $X$ $Y$de manera tal que,

para cada una de las $x\in X$, no es exactamente una $y\in Y$ tal que $(x,y)\in f$, la cual por lo general denotan $f(x)$.

A continuación, $f = \{ (x,f(x)) : x\in X\}$ puede ser la gráfica que estaban pensando. Como se señaló en los comentarios, la función de $f$ es no sólo los datos de la gráfica, sino también de la fuente de $X$ y el de destino $Y$, de donde el completar la notación se lee $f:X\longrightarrow Y$ " $f$ es una función de$X$$Y$."

Answer 5

En primer lugar, déjenme comenzar mi respuesta señalando que la cuestión de lo que algo "realmente" es un arenque rojo, o incluso activamente perjudicial — en la final, lo que importa es que tenemos una o más formas de codificación de una noción en términos matemáticos, y puede expresar lo que uno puede hacer con la noción en dichos términos.

---

Históricamente, la noción de relación ha tenido prioridad. Por ejemplo, cuando usted tenía un punto restringida a moverse en el estándar de la parábola, se hablaba en términos como " $x$ $y$ son dos variables relacionadas por la ecuación de $y = x^2$", no "no es una función de $f$, de modo que $(x, f(x))$ se encuentra en la parábola de todos los $x$".

Del mismo modo, la lógica ha sido históricamente acerca de las proposiciones y de predicados de propiedades que los objetos y las relaciones entre los objetos y que uno expresa la idea general de la función como un tipo especial de relación.

Incluso si uno tiene una noción de la función de los símbolos para la construcción de términos, tales como las operaciones elementales de cálculo $+,-,\times,\div$, eso no es suficiente para que el general de la noción de función. Por ejemplo, uno podría querer definir la verdadera función de raíz cuadrada, y una parte esencial de esto es el uso de la relación "$y \times y = x \text{ and } y \geq 0$".

Ahora, la lógica y teoría de conjuntos están fuertemente entrelazados, hasta el punto que uno podría incluso decir que la teoría de conjuntos es la misma cosa que la lógica de orden superior. Conjuntos de imitar la lógica de predicados, con la afirmación de "$x \in P$" correspondiente a la afirmación "$x$ propiedad $P$". Todo el conjunto de operaciones que reflejan diversos aspectos de la lógica; por ejemplo, la intersección de los conjuntos de $X \cap Y$ corresponde a la conjunción de predicados $X \wedge Y$, la existencia de conjuntos de productos, $X \times Y$ corresponde al hecho de que, simultáneamente, puede hablar de $x \in X$$y \in Y$, y así sucesivamente.

Así que una vez que hemos establecido una función de $X$ $Y$puede ser expresado como un predicado en $X \times Y$, de inmediato nos equiparar la noción con la de un subconjunto de a $X \times Y$. Un subconjunto es, precisamente, la gráfica de la función.

---

Dicho esto, hay alternativas, pero más o menos equivalente maneras para desarrollar las cosas. Además de la lī ogica, tenemos cosas de tipo simple cálculo lambda o dependiente del tipo de teoría. Además de Zermelo la teoría de conjuntos, tenemos cosas como ETCS (la "teoría elemental de la categoría de conjuntos").