¿Qué es un colector?

Question

Para los completos tontos cuando se trata de espacio-tiempo, lo que es un colector y ¿cómo se puede modelar el espacio-tiempo utilizando estos conceptos?

Answer 1

¿Qué es un colector?

Un colector es un concepto de las matemáticas que no tiene nada que ver con la física a priori.

La idea es la siguiente: Probablemente has estudiado geometría euclidiana en la escuela, así que sabes cómo dibujar triángulos, etc. en un papel plano. A diferencia del lenguaje común, entendemos por "espacio" cualquier cosa con un número de puntos. El plano euclidiano ( $\mathbb{R}^2$ ) o tu trozo de papel son un "espacio", el espacio 3d que te rodea es un "espacio" o la superficie del mundo es un "espacio" (advertencia: en realidad, quiero definir un espacio topológico, que no es "todo con un número de puntos", pero no nos distraigamos aquí).

Ahora bien, si observamos la superficie de la esfera, definitivamente no es un espacio euclidiano: En la geometría euclidiana, la suma de todos los ángulos de un triángulo es de 180°, lo que no es cierto para la superficie de una bola, una esfera. Sin embargo, si sólo se observa una pequeña porción de la esfera, esto es aproximadamente cierto. Por ejemplo, usted percibe la tierra como plana aunque no lo sea si la mira desde arriba.

Un colector es todo "espacio" con esta propiedad: localmente, se parece a un plano euclidiano. El círculo es un colector (localmente se parece a una recta, que es el espacio euclidiano unidimensional $\mathbb{R}$ ), la esfera (parece un plano localmente), su habitación (parece un espacio 3d-euclidiano $\mathbb{R}^3$ localmente - olvídate de los límites aquí), etc.

Lo bueno de las variedades es que esta propiedad de parecerse localmente a un espacio euclidiano permite describirlas completamente utilizando sólo espacios euclidianos. Como conocemos muy bien el espacio euclidiano, eso es algo bueno. Por ejemplo, podemos tomar un mapa de Inglaterra -ya que la palabra "mapa" se utiliza de forma diferente en matemáticas, llamémoslo "gráfico". Esta es una forma perfectamente buena de describir Inglaterra, aunque realmente es parte de un objeto redondo. Puedes juntar muchas de estas cartas para obtener un atlas completo que cubra la tierra y que te proporcione una buena descripción de la tierra utilizando sólo 2 piezas de papel. Obviamente, necesitarás más de una carta para cubrir toda la tierra sin duplicar ciertos puntos y, obviamente, si la carta cubre un área muy grande, se verá muy distorsionada en algunos lugares, pero es posible como puedes ver.

Y eso es un colector. Es un espacio en el que se puede crear un atlas de gráficos, cada uno de los cuales es un (parte de un) espacio euclidiano que describe una parte del espacio. Vale, no del todo: lo que quieres del colector es que puedas pasar de un gráfico a otro con una bonita operación. Por ejemplo, en tu atlas de la Tierra, algunas cartas se superponen y los puntos de la superposición que están cerca en una carta estarán cerca en la otra. En otras palabras, tienes un mapa entre las regiones superpuestas de dos cartas cualesquiera y ese mapa es continuo (en ese punto obtienes un colector topológico) o incluso diferenciable (en ese punto obtienes un colector diferenciable).

A estas alturas, debería ser obvio para usted que debería ser posible decir que el espacio que nos rodea es una variedad diferenciable. Parece perfectamente correcto describirlo utilizando $\mathbb{R}^3$ localmente, como probablemente has hecho en la escuela. Y así es también como las variedades entran en la relatividad: Si añades la dimensión del tiempo, resulta que puedes seguir modelando el espacio + el tiempo como un colector de cuatro dimensiones (lo que significa que cada gráfico se parece a $\mathbb{R}^4$ localmente).

¿Por qué modelar el espaciotiempo con variedades?

Ahora ya sabes lo que es un colector, pero aunque te hagas una idea de cómo podría modelar el espaciotiempo como un colector, esto no dice realmente por qué debe modelar el espaciotiempo como un colector. Después de todo, sólo porque puede hacer algo, eso no siempre lo hace especialmente útil.

Considera el siguiente problema: Dados dos puntos, ¿cuál es su distancia más corta?

[Nota: Antes de responder a esta pregunta, quiero mencionar que, aunque antes hablé de cosas como las distancias y los ángulos, no necesariamente se tienen estos conceptos en una variedad arbitraria porque podría ser imposible definir algo así para su "espacio" subyacente, pero si se tiene una "variedad diferenciable" (lo que significa que las funciones que te llevan de una carta a otra en las regiones superpuestas son diferenciables), entonces sí. En ese momento, se puede hablar de distancias. Para la física, especialmente la relatividad general, siempre se tiene una noción de distancias y ángulos].

Volviendo al problema de la distancia más corta: En $\mathbb{R}^n$ la respuesta es bastante sencilla. El camino más pequeño entre dos líneas es la línea recta que las une. ¿Pero en una esfera? Para definirlo, se necesita primero una distancia en la esfera. ¿Pero cómo se hace esto? ¡En ese momento ya sabría cuál es la distancia más corta!

He aquí una idea: si consideramos un vuelo de Londres a Buenos Aires (por ejemplo), ¿cuál es el "camino más corto"? Bueno, la tierra es más o menos una esfera en algunos $\mathbb{R}^3$ . Ese es un espacio euclidiano, así que ya sabes cómo calcular las distancias allí, así que el camino más corto es simplemente la menor distancia de todos los caminos posibles. Es fácil. Sin embargo, hay un problema: esto sólo funciona porque tenemos algún espacio tridimensional ambiental. Pero eso no tiene por qué ser así; de hecho, nuestro propio "espacio" no parece estar incrustado en algún hiperespacio de cuatro dimensiones espaciales (o como quieras llamarlo).

He aquí otra idea: Su colector localmente parece un espacio euclidiano donde la respuesta es simple. ¿Qué pasa si sólo defines tu distancia localmente y luego la remiendas de alguna manera para que tenga sentido?

Lo bonito es que una múltiple diferenciable te da herramientas para hacerlo. Así, puedes crear una medida de distancia (llamada métrica de Riemann), que te permite calcular los caminos más cortos entre puntos incluso sin espacios ambientales. Pero la cosa no acaba ahí. ¿Qué son las líneas paralelas? ¿Qué ocurre con un sistema de coordenadas local? Por ejemplo, si vuelas con tu avión, parece que siempre estás mirando hacia delante, pero tu campo de visión no va en línea recta, ¿cómo cambia tu campo de visión yendo por un camino? Una vez que tienes tu métrica, todo es sencillo.

Debería estar claro que todas estas preguntas son preguntas que puedes hacer sobre el espacio(tiempo) que te rodea - ¡y querrías la respuesta a ellas! También parece natural que puedas responder a estas preguntas para nuestro universo.

¿Cuál es la métrica de nuestro espacio? ¿Podemos simplemente parchearlo localmente? Bueno, podríamos, pero no va a ser único, así que ¿cómo decidir cuál es la métrica correcta? De eso trata exactamente la relatividad general: Las ecuaciones fundamentales de la relatividad general nos dicen cómo la medida de la distancia en el espacio-tiempo está relacionada con la materia y la energía.

Un poco más sobre topología (por si te interesa)

Por último, si quieres saber más sobre el aspecto "espacial" que he dejado de lado más arriba, vamos a verlo más de cerca. Lo que quieres no es cualquier conjunto de puntos, sino un conjunto de puntos que tiene vecindades para cada punto. Puedes pensar en una vecindad de un punto como un número de puntos que están de alguna manera "cerca" del punto. Al igual que en la vida real, tu vecindad puede ser muy grande, puede abarcar todo el espacio, ni siquiera debe estar conectada, pero de alguna manera siempre debe comprender los puntos inmediatamente "próximos" a ti. De hecho, si tienes una medida de distancia como la habitual distancia euclidiana en $\mathbb{R}^n$ entonces un conjunto de vecindades está dado por todas las bolas de todos los tamaños alrededor de cualquier punto. Sin embargo, se pueden definir estas vecindades también sin tener una medida de distancia, pero se puede seguir pensando de alguna manera en la "cercanía".

Estos espacios son suficientes para poder definir "funciones continuas", donde una función es continua en un punto, si todos los puntos "cercanos" a este punto (es decir, en alguna vecindad) permanecen "cerca" del punto después del mapeo (es decir, son mapeados en alguna vecindad de nuevo). Normalmente, y especialmente para todas las variedades de las que queremos hablar en relatividad, se añaden algunas condiciones más a los espacios para que tengan propiedades más agradables, pero si quieres saber sobre esto, te sugiero que empieces a aprender las verdaderas definiciones matemáticas. ¡Hay muchas otras respuestas que cubren lo básico!

Answer 2

Para introducir el concepto de colector liso, primero introduciré variedades topológicas .

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Manifiesto topológico

Decimos que $M$ un espacio topológico, es también un colector topológico si,

• Para dos puntos cualesquiera que elija, digamos $p,q \in M$ hay subconjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ del espacio $M$ tal que $p \in U$ y $q\in V$ . En otras palabras, se pueden separar por barrios.
• Existe un base contable para la topología de $M$ es decir, podemos construir cualquier conjunto abierto en $M$ a partir de la unión de un grupo de otros conjuntos abiertos, llamados la base $B$ y que esta base es contable.
• Lo más importante es que cada punto $p \in M$ tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . En otras palabras, existe una función continua con inversa continua desde esa vecindad a un conjunto abierto en $\mathbb R^n$ y esto es lo que entendemos por localmente euclidiano.

Para subrayar de nuevo, podemos elegir cualquier $p\in M$ y un conjunto abierto $U \subset M$ que contiene $p$ y se garantiza que podemos construir un homeomorfismo $\psi : U \to \tilde U$ donde $\tilde U \subset \mathbb R^n$ . Además, esta definición de localmente euclidiano es totalmente equivalente a poder construir un homeomorfismo a una bola abierta en $\mathbb R^n$ o $\mathbb R^n$ mismo. Los dos primeros requisitos son más bien formales, y para lo que sigue es crucial entender el tercero.

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Gráficos

Para proceder a la construcción de la noción de una variedad suave, introducimos gráficos de coordenadas . En particular, un gráfico de coordenadas es un par $(U, \varphi)$ donde $U \subset M$ es un conjunto abierto y $\varphi(U) \subset \mathbb R^n$ es el homeomorfismo del que hablamos, a $\mathbb R^n$ .

El mapa $\varphi$ es un mapa de coordenadas local cuyos componentes son coordenadas y $U$ es la vecindad de coordenadas.

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Estructura lisa

Para poder hacer cálculos en una variedad de este tipo, tenemos que añadirle una estructura suave. Si $(U,\varphi)$ y $(V, \psi)$ son dos gráficos tales que $U \cap V \neq \varnothing$ , entonces el mapa

$$\psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U \cap V) \to \psi(U \cap V),$$

llamado el mapa de transición es un homeomorfismo. Los dos gráficos son compatible sin problemas si este mapa de transición es un difeomorfismo, es decir, todos los componentes tienen derivadas parciales a todos los órdenes, es biyectivo y la inversa es continua.

Podemos definir un atlas $\mathcal A$ como la colección de gráficos que cubren todo el colector, de modo que cualquier punto debe pertenecer al dominio de uno de estos gráficos. Obsérvese que esto significa que no exigimos que un sistema de coordenadas cubra todo el colector.

Puedes adivinar que ahora llamaremos $\mathcal A$ a atlas suave si todos los gráficos son compatibles con la suavidad definida anteriormente.

Antes de que lleguemos al remate, podríamos tener un múltiple $M$ que tiene muchos atlas suaves, por lo que en la siguiente definición, elegimos el máximo uno o el que es completa en el sentido de que todo gráfico que sea compatible con suavidad está contenido en $\mathcal A$ .

A colector liso es, por tanto, el par $(M, \mathcal A)$ y podemos definir una función $f : M \to \mathbb R^n$ para ser suave si $f \circ \varphi^{-1}$ es suave para cada gráfico.

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¿Cómo podemos modelar el espacio-tiempo con ayuda de las variedades?

En la teoría de la relatividad general, tratamos el espacio-tiempo como un Colector riemanniano lo que da más restricciones a la noción de una variedad lisa.

Cada colector riemanniano viene equipado con el tensor métrico $g_p(X,Y)$ que toma dos vectores tangentes $X,Y \in T_p M$ que se encuentran en el espacio tangente en el punto $p$ y nos da la noción de la longitud de un vector y del ángulo entre vectores de forma generalizada.

Las ecuaciones de campo de Einstein, que relacionan la materia con la curvatura del espacio-tiempo modelado como una variedad, dependen explícitamente de esta métrica $g$ .

Answer 3

El colector es un concepto matemático .

En matemáticas, un colector es un espacio topológico que se asemeja localmente al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más concretamente, cada punto de un $n$ -tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano de dimensión $n$ .

Su uso permite generalizaciones a partir de los espacios euclidianos clásicos, y como Relatividad general por construcción distorsiona el espacio y el tiempo, un colector es la palabra adecuada para describir las "coordenadas" distorsionadas de los espacios euclidianos.

Answer 4

Históricamente, los colectores surgieron de la siguiente idea.

A menudo estudiamos diversas superficies, como la esfera o el cilindro, situándolas en un espacio euclidiano tridimensional, y a partir de ahí estudiamos la geometría. Sin embargo, hay rarezas:

• En realidad, las curvas no tienen ninguna forma "interna", pero hay todo tipo de curvaturas que surgen de cómo dibujamos la curva en el espacio euclidiano.
• El cilindro habitual es un plano superficie a pesar de que uno podría mirarla ingenuamente y pensar que su forma circular significa que es curva.
• Sabemos por la geometría esférica y la geometría hiperbólica que las formas pueden tener alguna geometría intrínseca no trivial.

Por lo tanto, hay un problema no trivial de distinguir entre qué partes de la geometría son realmente intrínsecas a la forma que estudiamos, y qué partes de la geometría son extrínsecas - accidentes de cómo colocamos la forma en el espacio euclidiano.

La idea de un colector se inventó para resolver este problema: ofrece una forma útil de trabajar con formas interesantes de forma puramente intrínseca, lo que garantiza que toda la geometría que estudiamos de esa forma es realmente intrínseca al colector.

La idea subyacente es cubrir la forma con gráficos de coordenadas, y describir la geometría utilizando el cálculo en los gráficos de coordenadas. Piensa en el uso de mapas para representar la superficie de la Tierra.

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Ahora bien, en el caso de la física, los múltiples entran en juego de forma totalmente opuesta. Tenemos siglos de experiencia haciendo física en lo que son básicamente gráficos de coordenadas, y sabemos que así es más o menos como se ve el universo en escalas suficientemente pequeñas, pero la topología a gran escala del universo puede estar más involucrada que eso.

Entra en los manifolds, una teoría matemática prefabricada sobre cómo combinar gráficos de coordenadas para describir un espacio topológico más interesante.

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Incluso si uno no está interesado en las variedades más interesantes, siguen entrando en juego debido a las matemáticas modernas - la geometría diferencial es el lenguaje para realizar cálculos sofisticados en el cálculo multivariable, en particular cuando se trata de ideas geométricas, y la teoría y la práctica de la geometría diferencial se desarrolla generalmente en los colectores.

Answer 5

La definición común de un $n$ -manifold es: un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano en una vecindad de cada punto (y un colector es cualquier $n$ -manifold). Esto significa que si se toma un punto arbitrario en el colector, siempre existe una bola suficientemente pequeña alrededor del punto dentro de la cual el espacio puede deformarse continuamente en un espacio plano. Un ejemplo sencillo es un círculo. Se trata de un $1$ -porque si se toma cualquier subespacio conectado de él, se puede enderezar a una línea (euclidiana $1$ -) aunque no se pueda hacer esto con todo el círculo. Lo mismo puede decirse de cualquier curva simple y suave ("simple" significa que no se autointerseca y "suave" significa que es diferenciable). Del mismo modo, la esfera, el toro y otras superficies suaves son $2$ -manifolds.

Un punto más sutil es la distinción entre un colector y su incrustación. Un poderoso teorema de Nash muestra que para cada $n$ -manifold $M$ existe alguna $m\geq n$ tal que $M$ se incrusta en $\mathbb{R}^m$ . En el sentido abstracto, se podría parametrizar una curva de manera que satisfaga la definición de colector incluso si todas sus incrustaciones en $\mathbb{R}^2$ se autointersecan (tal vez se incrusta sin intersección en $\mathbb{R}^3$ ). Pero una incrustación fija de una curva autointersectiva no es técnicamente una colector porque tiene un punto que parece un $+$ (no $\mathbb{R}$ ). Del mismo modo, la botella de Klein se puede incrustar en $\mathbb{R}^4$ como $2$ -aunque sus incrustaciones en $\mathbb{R}^3$ se autointersecan.

El espacio-tiempo es $4$ -dimensional. La aplicación habitual del concepto de colector encaja aquí si pensamos en la parte espacial del espaciotiempo que se deforma continuamente a lo largo del tiempo. En este modelo, en cualquier momento fijo del tiempo, el universo puede considerarse como un $3$ -pero tiene que cumplir con restricciones adicionales. Por un lado, suponemos que el universo es homeomórfico e isotrópico . Por otra parte, tal $3$ -debe tener sentido como una sección transversal del $4$ -estructura dimensional.

El $3$ -Las variedades homeomórficas e isotrópicas de dimensiones han sido un tema muy activo de investigación matemática, debido al trabajo seminal de Bill Thurston a partir de la década de 1970. Entre estas variedades, hay una que es plana (la euclidiana $3$ -espacio), uno con curvatura positiva (el $3$ -esfera), y hay infinitas estructuras hiperbólicas. Algunos matemáticos creen que la porción espacial del espaciotiempo puede modelarse con un colector hiperbólico, aunque esto no se cree ampliamente en la física (se explica más adelante). A principios de los años 80, Jeff Weeks descubrió la hiperbólica cerrada $3$ -de volumen mínimo, y algunos esperaban que fuera un modelo para el universo, pero no cumplía los requisitos para ser una sección transversal del espaciotiempo. Más recientemente, basándose en los datos de la radiación de fondo de microondas Weeks conjeturó que el modelo correcto es el espacio dodecaédrico de Poincare (como un $12$ -sided die where every time you leave through one face, you come back in through another with some rotation), que también es hiperbólica.

Muchos físicos creen que el universo es plano basándose en nuestras mediciones de la curvatura de la parte observable del mismo. Sin embargo (y esta afirmación es tendenciosa, ya que procedo de mi perspectiva como matemático especializado en topología), si el universo observable es una porción relativamente diminuta del universo general, entonces la definición de un colector nos dice que deberíamos esperar que parezca plano independientemente de su estructura topológica real. Sigue siendo un tema de interés cuál es la topología de (la porción espacial de) el universo general en el espacio-tiempo, como colector.

Alternativamente, se podría considerar el universo, con el tiempo, como un $4$ -Aunque estos no se entienden tan bien. En la física también hay teorías de dimensiones superiores del universo. En matemáticas no hay ninguna limitación en $n\in\mathbb{N}$ en la definición de un $n$ -manifiesto. También existen teorías bien desarrolladas sobre las variedades de dimensión infinita (por ejemplo Colectores de Banach ), así como $n\in\mathbb{Q}^+$ es decir, los manifiestos de dimensión fraccionaria (fractales), pero estos conceptos están menos relacionados con el modelo del espaciotiempo.