Hay un continuo bijection de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$

Question

Necesito una sugerencia. El problema es: ¿existe un continuo bijection de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$

Estoy bastante seguro de que no hay ninguna, pero hasta ahora no pude encontrar la prueba.

Mi mejor idea que hasta ahora es considerar que $f' = f|_{\mathbb{R}-\{*\}}: \mathbb{R} - \{*\} \to \mathbb{R}^2 - \{f (*)\}$ y, a continuación, examine el de Rham cohomologies: $$H^1_{dR}(\mathbb{R}^2 - \{f(*)\}) = \mathbb{R} \ \xrightarrow{H^1_{dR}(f')} \ 0 = H^1_{dR}(\mathbb{R} - \{*\}),$$ pero hasta ahora no he logrado derivar una contradicción aquí. Estoy en el camino correcto? Es posible completar la prueba en esta forma, por ejemplo, demostrando que $H^1_{dR}(f')$ debe ser un mono? O es que hay otro enfoque que me perdí?

Answer 1

Supongamos que $f(x)$ tal función. Tenga en cuenta que cada $A_n = f([-n,n])$ es un sistema cerrado (en realidad compacto), con $\copa A_n = {\mathbb R}^n$. Por la categoría de Baire teorema de, no es una de esas $A_n$ que contiene una bola cerrada $B$. Desde $[-n,n]$ es compacto, la imagen de cualquier relativamente cerrado subconjunto de $[-n,n]$ es compacto y por lo tanto cerrado. Por lo tanto $f^{-1}$ es continua cuando se limita a $A_n$, y por lo tanto cuando se limita a $B$. Así, en particular, de $f^{-1}(B)$ es conectado a un subconjunto de ${\mathbb R}$. Desde que se conectan todos los subconjuntos de ${\mathbb R}$ son intervalos, $f^{-1}(B)$ es un intervalo cerrado I$$.

Deje que $x$ ser cualquier punto en el interior de $B$ tal que $f^{-1}(x)$ no es un extremo de $I$. Entonces $B \{x\}$ es todavía conectado, pero $f^{-1}(B \{x\})$ es la unión de dos intervalos disjuntos, que no está conectado. Desde $f^{-1}$ cuando se limita a $B \{x\}$ es continua, tiene una contradicción.

Answer 2

He aquí una sugerencia: ¿Qué espacio simple es de $\mathbb{R}^2 - \{ f(\ast) \}$ homotópica a?

Edit: Sólo una pequeña edición, esperemos que topar con esto. Yo había leído esto como un homeomorphism, en cuyo caso es fácil. Sin embargo, sólo tenemos un continuo bijection de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$.

Puede ser una manera de argumentar a partir del hecho de que $\mathbb{R} - \{ \ast \}$ es desconectado y $\mathbb{R^2} - \{ f(\ast) \}$ está conectado. Esto va a funcionar de inmediato para mostrar que hay no continua bijection de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ como la imagen continua de un conjunto conectado está conectado. No estoy seguro acerca de recibir algo de la otra dirección, sin embargo (tal vez el "más simple" es Zarrax la explicación). Esperemos que los expertos tienen algo que agregar!