Demostrar que este elemento es distinto de cero en un producto tensor

Question

Quiero resolver el siguiente problema: demostrar que el elemento $1\otimes (1,1,....)$ no es el elemento cero en $$\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} \prod^{\infty}_{n\geq 2}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$.

Mi enfoque sería la de tratar de definir un mapa de este tensor a un $\mathbb{Z}$-módulo tal que el elemento en cuestión no está asignada a cero. Traté de iniciar la definición de un mapa de $\mathbb{Q}\times \prod^{\infty}_{n\geq 2}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Una idea que tuve fue la de enviar un elemento $(p/q,(x_1,x_2,...))$$(p/q)\sum (x_i/2^i)$. Esto no está bien definida, aunque. Hay una manera de solucionar este problema? O un mejor enfoque para el problema?

Answer 1

Si considera que cualquier $\mathbb{Z}$-módulo de $M$ y su parte de torsión $t(M)$, tenemos la secuencia exacta $$ 0\t(M)\M\M/t(M)\to0 $$ que, tensored con $\mathbb{Q}$, dice $$ \mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}M\cong\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}M/t(M) $$ Por lo tanto, si $1\otimes x=0$ $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}M$ (para algunos $x\in M$), entonces también se $1\otimes\pi(x)=0$ $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}M/t(M)$ ($\pi\colon M\to M/t(M)$ canónica mapa).

Ahora, si $N$ es de torsiones y $y\in N$, $y\ne0$, a continuación,$1\otimes y\ne0$$\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}N$, porque el mapa $$ N\to\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}N,\qquad y\mapsto 1\otimes y $$ es inyectiva.

Tenga en cuenta que la primera parte se utiliza el hecho de que $\mathbb{Q}$ es divisible entre (por lo tensoring con ella mata a la torsión de la parte); la segunda parte utiliza ese $\mathbb{Q}$ es torsionfree, de manera plana sobre $\mathbb{Z}$.

En su caso, el elemento $(1,1,\dotsc)$ tiene una infinidad de orden en $M=\prod_{n>0}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, así que va a un elemento distinto de cero en el cociente $M/t(M)$.

Answer 2

Aquí es un enfoque alternativo que, sin embargo, sólo funciona para el tensor de productos que pueden ser considerados como localizaciones: Si $R$ es un anillo conmutativo y $S\subset R$ es un subconjunto multiplicativo de a $R$, entonces dado cualquier $R$-módulo de $M$ $R_S$- módulo de $R_S\otimes_R M$ junto con el mapa $M\to R_S\otimes_R M$, $m\mapsto 1\otimes m$, es una localización de $M$ en $S$. Sin embargo, usted sabe que la localización también puede ser definida como $S^{-1} M$ tomando como elementos de las clases de equivalencia de formal fracciones $\frac{m}{s}$ $s\in S$ $m\in M$ por la relación $\frac{m_0}{s_0} = \frac{m_1}{s_1}:\Leftrightarrow t s_1 m_0 = t s_0 m_1$ algunos $t\in S$, junto con el mapa de $M\to S^{-1}M$ envío de $m$$\frac{m}{1}$. Por la singularidad de la localización, estos dos enfoques son los únicos isomorfo $R_S$ en un modo compatible con el morfismos de $M$ - en particular, dado $m\in M$, $1\otimes m=0$ $R_S\otimes_R M$ si y sólo si existe una $t\in S$ tal que $tm=0$.

Esto se aplica a $R := {\mathbb Z}$, $S := {\mathbb Z}\setminus\{0\}$ (de modo que $R_S = {\mathbb Q}$), lo que demuestra que el núcleo de $M\to M\otimes_{\mathbb Z}{\mathbb Q}$ es, precisamente, la torsión de los subgrupos de $M$. Ya en su ejemplo, el elemento $(1,1,...)\in\prod\limits_{n\geq 2}{\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ no está de torsión, se hace, por tanto, no se desvanecen bajo el plano de localización a ${\mathbb Q}\otimes_{\mathbb Z}\prod\limits_{n\geq 2}{\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$.

Answer 3

(Esta respuesta podría ser difícil.)

Deje $U$ ser un nonprincipal ultrafilter sobre el conjunto de los números naturales que contiene subconjuntos de a $\Bbb{N}$ de la forma $n\Bbb{N}+1$ por cada $n\in \Bbb{N}$. Considerar la ultraproduct $A=\prod_{n\in \Bbb{N}} (\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})/U$. Se puede comprobar que $A$ $\Bbb{Z}$- módulo bajo pointwise operación. Vamos a representar los elementos de $A$ de la forma $[x]_U$. Más precisamente, $[x]_U$ se define como $$[x]_U=\left\{x\in\prod_{n\in \Bbb{N}} (\Bbb{Z}/n\Bbb{Z}) : \{k\in \Bbb{N}: x_k=y_k\}\in U\right\}$$ donde $x=(x_1,x_2,\cdots)$ $y=(y_1,y_2,\cdots)$

Vamos a definir una función $\phi:\Bbb{Q}\times \prod_{n\in \Bbb{N}} (\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})\to A$, $\phi(a/b,(x_n)_{n\in\Bbb{N}})=[(ab^{-1}x_n)_{n\in \Bbb{N}}]_U$. Si está bien definido, entonces se le da la función bilineal y se envía a $(1,(1,1,1,\cdots))$ a un elemento distinto de cero de a $A$. Debemos comprobar que $\phi$ está bien definido desde $b^{-1}$ no está bien definida, a menos que $\gcd(b,n)=1$. Sin embargo, para determinado $b$, el conjunto de todos los $n$ tal que $\gcd(b,n)>1$ puede ser ignorada, ya $b\Bbb{N}+1\in U$ $\gcd(bk+1,b)=1$ por cada $k$ $b^{-1}$ está bien definido para casi todos los $n$ (es decir, el conjunto de todos los $n$ $(b,n)=1$ es un elemento de $U$.)