¿Cómo hace uno para DERIVAR la fórmula para el máximo de dos números

Question

Quiero derivar (no demostrar que esto es cierto) la fórmula

$\max (x,y) = \dfrac{x + y + |y-x|}{2}$

Estaba leyendo una prueba (que tienen el resultado antes de tiempo ya) que hacemos de los casos y, a continuación, consideramos $x + y + |y - x|$. No estoy seguro de cómo se llegó con $x + y + |y - x|$ en el primer lugar

Answer 1

El valor medio camino entre x e y es $$\frac{x+y}{2}.$$ If we want to add something to it to get to $\max \left( x,y \right)$, we would need to add the difference between $\max \left( x,y \right)$ and $\frac{x+y}{2}$. What is that value? well if $\max \left( x,y \right) = y$ then it is $$y- \frac{x+y }{2} = \frac{y-x }{2},$$ and if $\max \left( x,y \right) = x$ then it is $$x- \frac{x+y }{2} = \frac{x-y}{2}.$$

Sabemos 2 cosas:

1. $x-y$ $y-x$ son de la misma hasta un cambio de signo.
2. la diferencia entre el máximo y el medio es positivo.

Así,

$$\left| \frac{x-y}{2} \right|=\left| \frac{y-x}{2} \right|,$$

y si $\max \left( x,y \right)$ $x$ o $y$, puede agregar esta cantidad al valor medio camino entre el $x$ $y$ conseguir $\max \left( x,y \right)$.

Esto le da la fórmula:

$$\max \left( x,y \right) = \frac{x+y + \left| x-y \right|}{2}.$$

Answer 2

Yo expatiate sobre cómo esto engendra la fórmula para $\min(x,y) = -\max (-x,-y)$.

(http://math.berkeley.edu/~borisp/MA104/MA104solutions2.pdf)

El menor de los dos números f y g es más grande cuando se invierte la signo. Para recuperar el número original, uno debe volver a invertir el signo.

Videlicet, postulan $y < x$. Ergo $\color{seagreen}{min(y, x) = y}$.
Modus operandi. Desea $min(y, x) = y$ como functin de $max(x,y)$.

$y < x \iff -y > -x$ ergo $-y$ es mayor. Ergo $max(-x, -y) = -y$.
Para volver a $\color{seagreen}{min(y, x) = y}$, invertir el signo: $\color{magenta}{-}max(-x, -y) = \color{magenta}{-}-y$