Verificación de un límite de Epsilon-Delta

Question

Tengo que probar que $$\lim_{x \to a} \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$ $ donde x > 0 y a > 0.

Así que dado $\epsilon>0$, dejo $\delta<a/2$. A continuación:

$$|x-a|<\delta \\ -\delta<x-a<\delta \\ a-\delta<x<a+\delta \\ a/2<x<3a/2$$

Así que ahora

$$|1/(\sqrt{x})-1/(\sqrt{a})| =|(\sqrt{a}-\sqrt{x})/(\sqrt{xa})|\\ =|(\sqrt{a}-\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{x})/(\sqrt{xc}(\sqrt{a}+\sqrt{x}))| \\ =|(x-a)/(\sqrt{xa}(\sqrt{a}+\sqrt{x}))| \\ <|(x-a)/(\sqrt{xa}(\sqrt{a})| \\ <\delta/(\sqrt{a/2*a}\sqrt{a})\\ <2\delta/(a^{3/2})<\epsilon$$

así que dado cualquier $\epsilon>0$, que $\delta<min(a/2, \epsilon*a^{3/2}/2)$

así que ahora si $\delta<\epsilon*a^{3/2}/2<a/2$

$|1/(\sqrt{x})-1/(\sqrt{a})|<2\delta/(a^{3/2})<2\epsilon*a^{3/2}/(2a^{3/2})=\epsilon$,

y ahora si $\delta<a/2<\epsilon*a^{3/2}/2$, entonces

$|1/(\sqrt{x})-1/(\sqrt{a})|<2\delta/(a^{3/2})<2(a/2)/a^{3/2}<2\epsilon*a^{3/2}/(2a^{3/2})=\epsilon$

¿Funciona esta prueba? Gracias

Answer 1

¡Me funciona!

Sin embargo, debes aprender a escribir Tex, por ejemplo $a/2$, debe ser escrito que ${{\frac{a}{2}}}$ utilizando "\frac", * está escrito $\times$ usando "\times".