Autovalores y autovectores de la matriz de $2 \times 2$

Question

Digamos que tengo una matriz de $2 \times 2$ (realmente el tensor de la estructura de una imagen discreta - me): $$\begin{bmatrix} \frac{\partial I}{\partial x}\frac{\partial I}{\partial x} & \frac{\partial I}{\partial x}\frac{\partial I}{\partial y} \\\ \frac{\partial I}{\partial y}\frac{\partial I}{\partial x} & \frac{\partial I}{\partial y}\frac{\partial I}{\partial y} \end{bmatrix} $$

Tiene 2 propiedades:

1. Simétrica.
2. Semidefinite positivo.

Dadas esas características, ¿cuál sería el método más fácil para calcular numéricamente sus autovectores (ortogonales) y valores propios?

Answer 1

Como un dos-por-dos de la matriz, aplicando el método de Jacobi , de hecho, da la respuesta a la vez!

Es conocido que, dado un dos-por-dos simétrica matriz $\mathbf A$, se puede construir una matriz ortogonal $\mathbf V=\bigl(\begin{smallmatrix}c&s\\\\-s&c\end{smallmatrix}\bigr)$ tal que $\mathbf V^\top \mathbf A\mathbf V$ es diagonal, donde los dos números de $c$ $s$ satisfacer $c^2+s^2=1$.

Si la diagonal de elementos distintos de cero (¿por qué?), computación $c$ $s$ se puede hacer así:

$$\begin{align*} \tau&=\frac{a_{22}-a_{11}}{2a_{12}}\\ t&=\frac{\mathrm{sgn}(\tau)}{|\tau|+\sqrt{1+\tau^2}}\\ c&=\frac1{\sqrt{1+t^2}}\\ s&=ct \end{align*}$$

a partir de la cual el eigendecomposition fácilmente de la siguiente manera.

(Ver Golub y Van Loan excelente libro para más detalles).

---

Aquí está una Mathematica demostración de Jacobi del método:

a = N[{{3, -1}, {-1, 2}}, 20];

tau = (a[[2, 2]] - a[[1, 1]])/a[[1, 2]]/2;

t = Sign[tau]/(Abs[tau] + Sqrt[1 + tau^2]);

{c, s} = {1, t}/Sqrt[1 + t^2]
{0.85065080835203993218, 0.5257311121191336060}

{l1, l2} = {a[[1, 1]] - t a[[1, 2]], a[[2, 2]] + t a[[1, 2]]}
{3.6180339887498948482, 1.3819660112501051518}

Eigenvalues[a] == {l1, l2}
True

Eigenvectors[a] == {{c, -s}, {s, c}}
True

a.{c, -s} == l1 {c, -s}
True

a.{s, c} == l2 {s, c}
True

Answer 2

Desde que trabajo con un $2\times2$ matriz, el correspondiente polinomio característico es cuadrática para los autovalores se puede expresar en forma cerrada en términos de los elementos de la matriz. Tan pronto como usted consigue los autovalores todo lo que tienes que hacer es resolver dos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas (es decir, las coordenadas de la correspondiente autovector en el estándar de base). De nuevo, todo es bonito y explícito, no es necesario aplicar una fantasía método numérico.