¿Por qué no es válida esta categoría?

Question

Según el wikilibro de Haskell sobre la teoría de las categorías la categoría siguiente no es una categoría válida debido a la adición del morfismo h . La sugerencia dice que "piense en la asociatividad de la operación de composición". Pero no veo por qué falla.

$$ f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\\ f \circ (\mathit{id}_B) = (\mathit{id}_A) \circ h\\ $$

¿Se reduce entonces a $f = h$ ?

¿Y no es cierto porque f y h ¿a pesar de que ambos van de B a A, no son equivalentes?

_{(fuente: <a href="https://upload.wikimedia.org/wikibooks/en/6/65/Not-a-cat.png" rel="noreferrer">wikimedia.org </a>)}

Answer 1

No está muy claro lo que quieren decir, pero supongo que lo que quieren decir es que si se considera el gráfico anterior (en el que las aristas con diferentes etiquetas son diferentes) entonces no se puede poner en ese gráfico una estructura de una categoría.

Para demostrarlo hay que usar la reductio ab absurdum: si hubiera alguna estructura de categoría en ese grafo debería haber una ley de composición tal que $g \circ h = \text{id}_B$ y también $f \circ g = \text{id}_A$ (eso es lo que sigue por lo que se dice en el enlace que has puesto arriba) y por lo que también debería ser el caso que $$f = f \circ \text{id_B} = f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h = \text{id}_A \circ h = h \ .$$

Esto implica que $f=h$ pero por hipótesis $f \ne h$ de ahí que se haya llegado a un absurdo, por lo que no se puede encontrar ninguna ley de composición que dé al gráfico la estructura de una categoría.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Pista: ¿Qué es $hgf$ ? Escríbelo de dos maneras diferentes.

Answer 3

En el gráfico vemos que $f$ y $h$ son inversos a $g$ . Ahora es un hecho general sobre las categorías que los inversos de los morfismos son únicos. La prueba es la misma que la de los grupos.