(No es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario.)
Una posible ruta de acceso a la generalización de la función de partición de $p(n)$ a $p(\alpha)$ complejas $\alpha$ sería considerar la siguiente serie:
$$f(x)=1+\sum_{j=1}^\infty p(j) x^j=\frac1{(x;x)_{\infty}}=\sqrt[3]{\frac{2\sqrt[8]{x}}{\vartheta_1^{\prime}\left(0,\sqrt{x}\right)}}$$
donde $(q;q)_{\infty}$ es un q-símbolo de Pochhammer y $\vartheta_1^{\prime}\left(0,q\right)$ es la derivada de la Jacobi theta función $\vartheta_1(z,q)$ con respecto a $z$, evaluado en $z=0$. A partir de esto, podemos definir $p(n)$ como
$$p(n)=\frac1{n!}\a la izquierda.\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}f(x)\right|_{x=0}$$
y luego considerar si podemos asignar un significado a
$$\frac1{\Gamma(\alpha+1)}\left.\frac{\mathrm d^\alpha}{\mathrm dx^\alpha}f(x)\right|_{x=0}$$
para arbitrario $\alpha$.
Una manera de ir sobre esto sería considerar la posibilidad de Cauchy de diferenciación fórmula
$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\mathrm dz$$
para algunos apropiado cerrado contorno $\gamma$ ir en el sentido contrario, y, a continuación, vamos a
$$p(\alpha)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z^{\alpha+1}}\mathrm dz$$
Estoy un poco lejos de mi Mathematica equipo para hacer una rápida investigación para este, pero convertir esto en una práctica de la fórmula implicaría hacer una elección adecuada de la integración de contorno $\gamma$, teniendo en cuenta el hecho de que la función $z^{-\alpha-1}$ tiene un punto de ramificación en $z=0$, así como $(q;q)_{\infty}$ no está definido para $|q| > 1$ (y tener un montón de singularidades en el límite de $|q| = 1$).
Esperemos que alguien se puede llevar a cabo con esta línea de ataque.
(añadido 4/30/2011)
Me las arreglé para tomar prestada una máquina con Mathematica, y decidió tratar de experimentar con esta construcción. Como se ha mencionado, un adecuado contorno por la ya mencionada integral debe ser un círculo trazado alrededor de $z=0$, y no debe cruzar la rama de corte de $z^{-\alpha-1}$. Con esto, me decidí a dejar $\gamma$ es un círculo de radio $\rho$ ir en sentido antihorario desde el eje real negativo. Me impuso la restricción de $0 < \rho < 1$ debido a las restricciones del dominio de la q-símbolo de Pochhammer.
En resumen, que considera la integral
$$f(\alpha,\rho)=\frac1{2\pi\rho^\alpha}\int_0^{2\pi}\frac1{(-\rho\exp(it);-\rho\exp(it))_{\infty}(-\exp(it))^\alpha}\mathrm dt$$
para los distintos valores de $\rho\en(0,1)$.
En Mathematica:
pcont[a_?NumericQ, r_?NumericQ] :=
NIntegrate[1/(QPochhammer[-r Exp[I t]] (-Exp[I t])^a), {t, 0, 2 Pi},
AccuracyGoal -> Infinity, Method -> "Oscillatory",
WorkingPrecision -> Precision[{a, r}]]/(2 Pi r^a) /;
Precision[{a, r}] < Infinity && 0 < r < 1
En valores enteros de $\alpha$, cualquier elección de $\rho$ produjo el resultado esperado de $f(n,\rho)=p(n)$; la diversión comienza cuando no entera son los valores:
![f(\alpha,\rho) plots]()
Los valores de $f(\alpha,\rho) de dólares en los enteros se indican con puntos rojos.
Como puede verse, $f(\alpha,\rho)$ proporciona una familia de un parámetro de la "analítica de las continuaciones" para la función de partición de $p(n)$; sin embargo, podría darse el caso de que exista una función $\rho(\alpha)$ tal que $f(\alpha,\rho(\alpha))$ es la "natural" de continuación analítica de $p(\alpha)$. Alternativamente, podría ser una opción para el contorno de $\gamma$ que es mejor/más natural que un círculo. No sé nada más que esto, y puede ser un tiempo antes de volver a este tema.
