Topología general: "Siga su enfoque de la nariz"

Question

Así que, esta es definitivamente una pregunta suave y me disculpo. He estado en la topología de conjunto de puntos durante una semana y tengo dos preguntas,

Todo surge de la definición, así que ¿debo descartar mi intuición geométrica?

¿Las definiciones deben tomarse como un hecho, porque la mayoría de las veces parecen salir de la nada?

Estoy usando Munkres. Hasta ahora me gusta la topología, pero la abstracción y mi visualización habitual no están funcionando. ¿Debería machacar las definiciones en mi cerebro?

Por favor, sólo comenten, me doy cuenta de que esto puede ser muy difícil de contestar, así que una vez que lleguen unos cuantos comentarios (si los hay), borraré el post.

Answer 1

Las definiciones no surgen de la nada, pero desgraciadamente es convencional omitir las razones que las sustentan.

En topología, los relatos populares dicen que la materia estudia las propiedades de los espacios que no cambian si uno los estira y los dobla sin desgarrarlos. Pero luego los relatos rigurosos dicen que una topología es una colección de subconjuntos, llamados conjuntos abiertos, que satisfacen ciertas condiciones. Me parece que quien no se pregunte por qué son la misma cosa no está prestando atención.

He aquí un ejemplo sencillo. Consideremos el intervalo semiabierto $[0,1)$ . Sean los conjuntos abiertos "básicos" de este espacio las intersecciones de $[0,1)$ con intervalos abiertos, y que los conjuntos abiertos sean uniones arbitrarias de conjuntos abiertos "básicos". Entonces se tiene un intervalo que parece un intervalo. Pero entonces se modifica la definición de conjuntos abiertos "básicos" para que todo conjunto abierto que contenga $0$ como miembro incluye algún conjunto de la forma $[0,\varepsilon)\cup(1-\varepsilon,1)$ para que se incluyan los dos extremos del intervalo. Entonces se tiene un intervalo que parece un círculo. En otras palabras, la forma en que se conecta el conjunto es sólo una cuestión de qué conjuntos están abiertos. Esto permite ver por qué el significado previsto de la topología es el mismo que el significado según la definición lógicamente rigurosa.