Prueba de divisibilidad sencillos

Question

Dados enteros $a$, $k$ y $n$, y teniendo en cuenta que $a(a+1)=n(2^k)$, ¿cómo demostrar que (suponiendo que es $a$), $2^k|a$?

Leí esto en una prueba, y no puedo encontrar la manera de comprobarlo yo mismo.

Answer 1

% Toque $\: \ $si $\rm\:\ \color{#C00}{c\ |\ a}\ \:$ y $\rm\:\ \color{#0A0}{c\ |\ b\ (a+1)}\ \,\Rightarrow\,\ c\ |\ b\ \ $ $\rm\: \ \dfrac{b}c\, =\, \color{#0A0}{\dfrac{b\ (a+1)}c} -\ b\ \color{#C00}{\dfrac{a}c}\, \in\, \mathbb Z\! -\! b\,\Bbb Z\,\subset\, \Bbb Z$

Por lo tanto, por inducción, $\rm\ \ c^k\ |\ b\ (a+1)\ \Rightarrow\ c^k\ |\ b\:.\ $ tuyo es el especial caso $\rm\ c = 2,\ \: b = a$

Nota $\ $ general $\rm\ c^k\ |\ b\ d\ \ \Rightarrow\ \ c^k\ |\ b\ \:$de % si $\rm\:\ gcd(c,d) = 1\ \ $ por el lema de Euclides.

Answer 2

Si $a$ es par, entonces $a+1$ es impar no divisible por $2$. Por lo tanto, si $a(a+1)=n(2^k)$, es decir, si es divisible por $a(a+1)$ $2^k$ %, debemos tener $a$ nos divisible por $2^k$, ya que no es divisible por $a+1$ $2$.

Tome por ejemplo, $a=24$ y $a+1=25$ y $a(a+1)=75(2^3)$. $a+1=25$ Es impar, no es divisible por $2$. Por lo tanto, $2^3$ debe dividir $a=24$.

Answer 3

Considerar la facturización primera de $a + 1$. Puesto que es $a$, $a + 1$ no lo es. Ahora consideremos la facturización primera de $a(a + 1)$: $2^k$ debe aparecer en algún lugar y no 2 es contribuido por la factorización de $a + 1$, por lo que $2^k$ debe aparecer en la facturización primera de $a$.

Answer 4

Que $a=2^x*b$ $b$ impar y $x \ge 1$ y que $y = x - k$. Ahora la ecuación puede escribirse como $n = 2^y*b*(a+1)$. Porque ambos $b$ y $a+1$ son impares y $n$ es un entero, $y \ge 0$. Pero entonces $a = 2^x*b = 2^k*2^y*b$ y $2^k \vert a$.