$\max\min$ problema

Question

Supongamos que existe una función de valor real $f(x,y)$ donde $x,y$ son variables vectoriales $x\in\mathbb{R}^n$ $y\in\mathbb{R}^m$ . Además $f$ es estrictamente/cóncavo en $x$ y estrictamente/convexo en $y$ . $f$ también es continua. El problema es $$\max_x\min_y f(x,y)=\min_y\max_x f(x,y).$$

Por favor, explíqueme cómo analizar este problema. Desde Cuando $\min \max = \max \min$ ? Veo que en general no es cierto. Pero supongo que la información de convexidad dada anteriormente puede forzar la igualdad.

Muchas gracias

Answer 1

Según las definiciones que has hecho, primero el $\min$ y $\max$ debería existir. Para ello necesitará un espacio compacto desde el que dibujar $x$ y $y$ . Además, si su función objetivo $f$ es convexo en $y$ y cóncavo $x$ entonces Según el teorema minimax de Von Neumann

$$\max_x\min_y f(x,y)=\min_y\max_x f(x,y).$$

retenciones. Esto también implica que la topología que tiene acepta un punto de silla de montar. http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle_point Si tienes una topología así, el orden de minimización o maximización no importa. Si esto no se cumple, entonces tienes

$$\max_x\min_y f(x,y)\leq \min_y\max_x f(x,y)$$

El teorema minimax de Von Neumann nos da una condición suficiente para que tengamos un punto de silla de montar