¿Solicitud de referencia para el teorema algebraico de Peter-Weyl?

Question

Parece que, para $GL_n$ y posiblemente para algo como los grupos reductores complejos $G$ en general, hay una versión algebraica del teorema de Peter-Weyl, que podría decir que el anillo de coordenadas de $G$ se descompone como una suma directa de endomorfismos de todas las representaciones algebraicas irreducibles. Es decir, que $$\mathbb C[G] = \bigoplus V^* \boxtimes V$$ como $G \times G$ -(la suma es sobre todos los irreps de $G$ ).

¿Alguien conoce por casualidad una referencia para este tipo algebraico de Peter-Weyl?

Motivos de sospecha: esta entrada del blog de David Speyer , este comentario de Ben Wieland en mathoverflow y las primeras líneas de los apuntes de la clase 5b de un seminario del MIT sobre grupos cuánticos que se pueden encontrar buscando "peter-weyl algebraic" y que no se me permite enlazar.

Un enunciado limpio y verdadero para cuando tal teorema pueda sostenerse sería un comienzo encantador también, supongo...

Answer 1

Esto será cierto para cualquier grupo reductor complejo. Un argumento general de reciprocidad de Frobenius muestra que $\mathrm{Hom}_G(V,\mathbb C[G]) \cong V^{\vee}$ como $G$ -representaciones. Por otra parte, dado que $G$ es reductora, $\mathbb C[G]$ es una suma directa de repeticiones irreducibles. Juntando estas dos observaciones demuestra que efectivamente $\mathbb C[G] \cong \bigoplus_{V \text{ irred.} } V\boxtimes V^{\vee}$ .

Es un buen ejercicio para comprobar esto concretamente cuando, por ejemplo $G = \mathrm{SL}_2$ .

Answer 2

Hay una prueba de esta afirmación para cualquier grupo reductor complejo, más o menos en la línea del esbozo de Matt, en el capítulo 12 del libro de Goodman y Wallach "Representaciones e invariantes de los grupos clásicos".

Answer 3

Una buena referencia, en mi opinión, es el teorema 27.3.9 del libro de Patrice Tauvel y Rupert Yu llamado Álgebras de Lie y grupos algebraicos .