Aunque estoy casi cualificados, voy a tratar de responder a tres preguntas.
Pregunta 1
En el caso sencillo en el que voy a hablar, yo no creo que importe que la norma de que usted escoja. Esto es porque si $V$ es finito-dimensional real de espacio vectorial, entonces $\operatorname{End}(V)$ es demasiado, y cualquiera de las dos normas $\|\cdot\|$ $\|\cdot\|'$ en un número finito de dimensiones reales espacio vectorial son equivalentes en el sentido de que $\log \|\cdot\| - \log \|\cdot\|'$ está acotada.
Pregunta 3
Como Akhil Mateo dijo, el no conmutativa analógica de Birkhoff del ergodic es el teorema de Oseledec la multiplicativo ergodic teorema. Hay varias versiones diferentes de la misma. He aquí un bosquejo de una versión autónoma de tiempo discreto sistemas dinámicos, basados en las notas por Quas se mencionan a continuación.
Decir $X$ es una probabilidad espacio equipado con un ergodic mapa de $\sigma \colon X \to X$. Me gusta imaginar un mármol que se inicia en algún punto de $x \in X$ y, a continuación, rueda a través de un lío de los tubos y los ascensores y rampas y cosas y, finalmente, termina en algún otro punto de $\sigma(x) \in X$, y luego se mantiene haciendo que más y más.
Dicen que el mármol lleva a un "cargo" toma valores en un número finito de dimensiones reales espacio vectorial $V$. Tal vez el mármol es de spinning, por ejemplo, y el cargo es su momento angular del vector. Cuando el mármol pasa a través de la máquina, su carga puede ser diferente cuando se trata de la espalda. ¿Qué sucede con el cargo depende de cómo el mármol pasa a través de la máquina, el cual es determinado por el lugar donde el mármol se inicia. Un mármol que se inicia en $x \in X$ con cargo a $v \in V$ a $\sigma(x)$ con cargo a $A(x)\,v$ donde $A$ es una función medible de$X$$\operatorname{End}(V)$.
Como el mármol sigue rodando a través de la máquina, pasando por los puntos de $x_1, x_2, x_3, \ldots$, pasa a través de con cargos
$$\begin{align*}
v_1 \\
v_2 & = A(x_1)\,v_1 \\
v_3 & = A(x_2)\,A(x_1)\,v_1 \\
\vdots
\end{align*}$$
Qué le ocurre a la carga en $v_n$ en el largo plazo, como $n \to \infty$? Para averiguarlo, recogida de las normas sobre el $V$ $\operatorname{End}(V)$- no creo que las cuestiones que, como he dicho antes. Si $\log \|A\|$ es una función integrable en $X$, el multiplicativo ergodic teorema da una buena respuesta, en la forma de...
Una secuencia anidada de subespacios $$V = V_1(x) \supset V_2(x) \supset \ldots \supset V_m(x) \supset V_{m + 1}(x) = 0,$$ defined at almost every $x \in X$, llamado el de Lyapunov de filtración.
Una secuencia de números de $\lambda_1 > \lambda_2 > \ldots > \lambda_m$, llamó a los exponentes de Lyapunov.
(...)
Si el mármol de la carga se inicia en $V_j$, se queda en $V_j$. En otras palabras, $A(x)$ envía $V_j(x)$ a $V_j(\sigma(x))$.
En el largo plazo, los cargos en $V_j \smallsetminus V_{j+1}$ a crecer de forma exponencial con exponente $\lambda_j$. En otras palabras, $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log \|v_n\| = \lambda_j$$ whenever $v_1 \en V_j(x_1)$. Notice that this presupposes that $x_1$ es uno de los puntos donde el Lyapunov de filtración se define.
Por el camino...
- El subespacio $V_j(x)$ tiene la misma dimensión en cada una de las $x \in X$ donde se define, y que varía sensiblemente con respecto a $x$.
Pregunta 4
Las notas de la conferencia
son muy agradables. También puede intentar las notas
especialmente si usted está interesado en la más geométrica escenario donde se siga el mármol de todo el camino a través de la máquina, en lugar de sólo mirar a las "instantáneas." En este caso, el mármol de la máquina es de un colector, y la carga de la toma valores en un plano vector paquete sobre él.
La bibliografía de Kelliher de las notas es muy descriptivo, y se menciona varias referencias detalladas y no tan detallada de las pruebas. Me gusta el look de la prueba en
- "Una prueba de Oseledec la multiplicativo ergodic teorema," por M. S. Raghunathan,
aunque yo no lo he leído detenidamente.
