Visual entendimiento del "género" de un avión curva algebraica

Question

Estoy tratando de entender el género de una curva algebraica en el plano complejo $\mathbb{C}P2$. Estoy buscando un visual o de la comprensión intuitiva. La diferencia entre una esfera y un toro como una superficie de género 0 y 1 resp. está claro, ¿pero cómo es que la superficie se relacionan con el plano de la curva?

Como ejemplo tomemos la siguiente parametrización: $$ t \in \mathbb{C} \mapsto (x,y,z) := (t+t^3, t-t^3, 1+t^4) \in \mathbb{C}P2 $$ Donde $(x,y,z)$ son complejas coordenadas homogéneas, es decir, $(x',y') := (x/z, y/z) $ sería "normal" complejo de coordenadas.

El parámetro $t$$\in \mathbb{C}$, por lo que uno puede considerar el parámetro de $t$ sobre una esfera de Riemann, donde algunos de los puntos sobre la esfera son singulares.

Es que la razón por la que el género de esta curva es $0$, porque tiene un parametrización en una esfera de Riemann?

Wikipedia afirma que los óvalos de Cassini son curvas de género 1.
Sin embargo, el lemniscate es de género 0.
Me inclino a creer que el óvalo de Cassini el aspecto de una elipse es también el género $0$. Es eso correcto?
Podría ser que el óvalo de Cassini que consta de dos partes separadas es de género 1. Es una parte de las dos separadas óvalos luego de género $0$?

Answer 1

Desde ${\Bbb C}$ es algebraicamente cerrado, una curva de un ser racional (parametrizable) es equivalente a ser de género cero.

Para ser más visual, racional curvas fueron llamados unicursal porque se puede dibujar sobre los reales, en un movimiento sin salir del papel. Pero cuidado hay género 1 curvas que se pueden extraer gusta demasiado:

El género–grado de la fórmula que relaciona el grado de $d$ de un no-singular plano de la curva de $C\subset\mathbb{P}^2$ con su aritmética de género g a través de la fórmula: $g=\frac12 (d-1)(d-2) . \,$ Si la curva es no-singular geométrica de género y la aritmética de género son iguales, pero si la curva es singular, con sólo ordinario, las singularidades geométricas género es menor. Más precisamente, una ordinaria singularidad de la multiplicidad r disminuye el género por $\scriptstyle \frac12 r(r-1)$.

Los óvalos de Cassini tiene el doble de puntos en la circular de puntos en el infinito. Necesitamos tres puntos singulares de bajar de género tres de un nonsingular el cuarto grado de la curva, por lo que sin nodo extra son de género 1.