Encontrar el todo entero soluciones

Question

Cómo Encontrar el todo entero soluciones para:

$$x+y+z=3$$ $$x^3+y^3+z^3=3$$

Answer 1

Tenemos $x^3+y^3=3-z^3$$x+y=3-z$. Desde $x+y$ divide $x^3+y^3$, llegamos a la conclusión de que $z-3$ divide $z^3-3$, y por lo tanto $z-3$ divide $24$. Consideraciones similares se aplican a $x$$y$.

Así que estamos en un finito y, de hecho, bastante corta lista de candidatos. Podemos utilizar más pequeños trucos para seleccionar la lista.

Comentario: Vamos a lanzar en algunos teoría de los números. Es útil a veces hecho de que $a^3$ es siempre congruente con $0$, $1$, o $-1$ modulo $9$. Por lo tanto si $x^3+y^3+z^3=3$, debemos tener $x^3$, $y^3$, y $z^3$ todos congruente a $1$ modulo $9$. De ello se sigue que todos los de $x$, $y$, y $z$ son congruentes a $1$ modulo $3$, y por lo tanto también lo son $x-3$, $y-3$, y $z-3$. Los únicos divisores de $24$ que cumplen esta condición son $1$, $4$, $-2$, y $-8$. Así que nuestro único de los candidatos para $x$, $y$, y $z$ $4$, $7$, $1$, y $-5$.

Answer 2

No voy a dar la solución, sino un camino. En primer lugar, encontrar todas las soluciones donde todos los números son >= 0, que es muy fácil. En otros casos, usted tiene números positivos y negativos. Mostrar por qué usted no puede tener x = -y, por ejemplo. Y, a continuación, que muestran que el mayor número no puede ser muy grande.

Answer 3

La solución se puede encontrar aquí :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%2By%2Bx%3D3%2Cz%5E3%2By%5E3%2Bx%5E3%3D3